Скорости молекул. Распределение молекул по скоростям

Для характеристики скорости теплового движения выразим среднюю квадратичную скорость молекулы через температуру газа Т. Средняя кинетическая энергия ‹ε₀› поступательного движения молекулы массой m₀, с одной стороны равна

(8.19)

С другой стороны, эта энергия может быть определена через температуру

(8.20)

Сопоставляя (8.19) и (8.20), получим среднюю квадратичную скорость молекулы идеального газа

(8.21)

Полученную скорость часто называют просто тепловой скоростью, так как в формулу (8.21) вместо m₀ c успехом можно подставить массу атома, молекулы или броуновской частицы. Применяя формулу (8.21) к молекулам, ей удобно придать другой вид. Учитывая, что , получим

(8.22)

где, R – молярная газовая постоянная;

m = m₀ Na – масса газа (Na – число Авогадро).

Скорости движения молекул в газе различны. Но, согласно, молекулярно-кинетической теории, какие бы ни были скорости, для газа определенной температуры средняя квадратичная скорость молекул массой m₀ находящихся в состоянии равновесия остается величиной постоянной и определяется по формуле (8.21) или (8.22).

Это объясняется тем, что в газе, находящимся в состоянии равновесия, устанавливается некоторые стационарные не изменяющиеся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически вывел Максвелл[8].

Задача о статистическом распределении молекул по скоростям сводиться к установлению числа молекул, которые обладают скоростями, лежащими в интервале u, u + du. Это количествомолекул dN прямо пропорционально общему количеству молекул N, ширине интервала du и зависит от величины скорости

(8.23)

где ƒ(u) – функция распределения молекул газа по скоростям;

– показывает относительное число молекул, приходящихся на единицу интервала скоростей.

Функция ƒ(u) для равновесных состояний газа вычислена теоретически и проверена путем измерений. По Максвеллу она имеет вид

(8.24)

где А и В – постоянные, зависящие от массы и температуры

,

Графики ƒ(u) для разных температур представлены на рис.8.2.

Площадь заштрихованной части при малых значениях du будет , т.е. равна доле общего числа молекул, обладающих скоростью, лежащей в интервале от u до u + du.

Скорость u_в, соответствующая максимуму кривой, называетсянаиболее вероятной скоростью.Значениеu_в можно найти, продифференцировав выражение по аргументу и приравняв результат нулю, используя условия для максимума функции ƒ(du)

(8.25)

Рис.8.2.

Из графика видно, что наибольшая площадь находится под максимумом кривой. Следовательно, наиболее вероятная скорость близка к скорости большинства молекул.

Из закона распределения (8.24) можно найти среднюю арифметическую скорость ‹u› поступательного движения молекул идеального газа

(8.26)

Все представленные скорости молекул характеризуют состояние идеального газа и близки друг к другу, т.е. их соотношение: ‹u_в›:‹u_кв›:‹u› = 1:1,1:1,2.

[1] Существуют и другие температурные шкалы, например, в Америке и Англии температуру измеряют по шкале Фаренгейта (°F), в которой температуре замерзания воды соответствует 32°F, а температуре кипения воды 212°F.

² Цельсий (Celsius) Андерс (1701 – 1744) – шведский астроном и физик

³ Кельвин (Kelvin) (1824 – 1907) – английский физик. Настоящая фамилия Томсон Уильям Кельвин, получил титул барона за научные заслуги.

⁴ Клапейрон (Clapeyron) Бенуа Поль Эмиль (1799 – 1864) - французский физик.

⁵ Менделеев Дмитрий Иванович (1834 – 1907) – русский химик.

¹Авогадро (Avogadro) Амедео (1776 – 1856) – итальянский физик и химик

² Больцман (Bolzmann) Людвиг (1844 – 1906) - австрийский физик.

[8] Максвелл (Maxwell) Джеймс Клерк (Clerk) (1831-1879) – английский физик.