Символьные вычисления в Mathcad
9.1. Основы
Символьные преобразования в Mathcad возможны двумя способами:
1. С помощью команд пункта Symbolics (Символьные операции) главного меню.
2. С использованием оператора символьных преобразований и операций палитры Symbolic (Символьные вычисления) – с использованием подсистемы SmartMath (чудо-математика).
Символьные преобразования осуществляются:
- над выделенным выражением,
- относительно переменной.
Чтобы выделить выражение для преобразования (поместить в выделяющую рамку) необходимо при нажатой левой кнопки мыши обвести его.
Выделить можно как часть выражения, так и все выражение.
Выделить переменную, относительно которой делается преобразование, можно с помощью маркера ввода, поместив его слева от имени переменной.
9.2. Преобразования с помощью команд пункта Symbolics
Операции пункта разделены на 5 групп:
1. Операции с выделенными выражениями.
2. Операции с выделенными переменными.
3. Операции с выделенными матрицами.
4. Операции преобразования.
5. Стиль эволюции (Стиль преобразования).
После выбора операции Mathcad выводит преобразования по выбору:
- на месте исходного выражения,
- под ним,
- справа от него.
|
Выбор осуществляется в одноименном диалоговом окне:
Показать шаги эволюции
Вертикально со строками
Вертикально без строк
Горизонтально
Показать комментарий
Вычислить наместе
вместо исходного
В ответах могут появляться имена дополнительных специальных функций, которые нельзя употребить для численных вычислений. Например, arcsec(x). Для них нет подпрограмм численных вычислений. Такую функцию нужно представить стандартной.
9.3. Операции с выделенными выражениями
Примеры операций Evaluate - вычислить:
Слева выражение справа результат.
Вычислить символически сумму квадратов.
Производную от синуса.
В итоговом выражении есть p.
В формате с плавающей точкой.
Можно получить выражение >
машинной бесконечности.
Примеры операций Simplify - упростить:
Слева выражение, справа результат.
Вычислить символически функцию тангенса
Сумма квадратов синуса и косинуса.
Определенный интеграл. В итоговом
выражении есть специальная функция Si(t)
Производная от синуса. То же можно сделать,
используя опцию «Вычислить символически».
Примеры операций Expand - расширить (разложить по степеням):
Слева выражение, справа результат.
Вычислить символически сумму кубов.
Произведение сумм квадратов синуса и
косинуса.
В итоговом выражении есть специальная
Функция -Psi(1,k).
Примеры операций Factor - факторизация (разложение на сомножители):
Слева выражение, справа результат.
Сомножители с х в первой степени.
Второй сомножитель - квадратный
полином с комплексно-
сопряженными корнями.
Примеры операций Collect -комплектовать (разложить по подвыражению):
Слева выражение, справа результат.
Подвыражение - х. Его надо перед
операцией выделить маркером ввода.
Подвыражение - а. Его надо перед
операцией выделить маркером ввода.
В выражении может быть много переменных, поэтому подвыражение надо выделить маркером ввода.
Примеры операций Polynomial coefficients - полиномиальные коэффициенты:
Найти коэффициенты полинома по заданной переменной.
Слева выражение, справа результат.
Коэффициенты выводятся, начиная с
низшего порядка.
Вывод вектора в виде столбца.
Выделена переменная а.
Выделена переменная b.
9.4. Операции с выделенными переменными
Примеры операций Solve - решить:
Выражение, ниже комментарий и результат.
Квадратный полином.
Комментарий - имеет решение(я)
Вектор из символьных выражений для корней.
Выражение с комплексными корнями.
Комментарий - имеет решение(я)
Вектор решений. Ответ содержит комплексные числа.
Если ответом являются выражения с комплексными
числами, то ответ может помещаться в буфер в форме
текста. При желании его можно посмотреть.
Примеры операций Substitute - подстановка:
Выражение, ниже комментарий и результат.
Выражение для подстановки. Его надо скопировать в буфер.
Исходное выражение.
В нем надо выделить х маркером ввода.
Комментарий - путем подстановки получим.
Результат.
Примеры операций Differentiate - дифференцировать и
Integrate - интегрировать:
Дифференцировать и интегрировать всё выражение, содержащее выделенную переменную, по отношению к этой переменной остальные рассматриваются как константы.
Выражение, ниже комментарий и результат.
Исходное выражение.
В нем надо выделить х маркером ввода.
Комментарий - путем дифференцирования получим.
Результат. В нем вновь выделим х.
Комментарий - путем интегрирования получим.
Результат. Константа по умолчанию берется 0.
Примеры операций Expand to series… - Разложить в ряд Тейлора
Разложить функцию в ряд Тейлора. По первым трем членам ряда построить график, подтверждающий правомочность представления функции бесконечным рядом.
Выражение, ниже комментарий и результат.
Исходное выражение. Выделить переменную.
При диалоге выбрать порядок аппроксимирующего
полинома. Комментарий - преобразуется в ряд.
O() – погрешность представления ряда.
Исходное выражение в виде функции пользователя.
То же с разложением в ряд Тейлора (3 члена ряда).
Ранжированная переменная
Графики.
Выводы по задаче: точность представления функции в виде бесконечного числа членов ряда Тейлора зависит от количества членов ряда, участвующих в ее конечном отображении.
Примеры операций Convert to Partial Fraction - Разложить на элементарные дроби
Mathcad «пытается» представить знаменатель выражения в виде произведения сомножителей с переменной в первой, или второй степени с целочисленными коэффициентами, если таковы имеет место быть. Если это удается, то выражение преобразуется в сумму дробей, у которых знаменателями являются эти сомножители.
Исходное выражение
Комментарий - разлагается на элементарные дроби.
Результат.
9.5. Операции с выделенными матрицами
Примеры операций Matrix - Матрицы
Выражение, ниже комментарий и результат.
Исходное выражение
Комментарий - транспонируя матрицу, получим.
Результат.
Исходное выражение
Комментарий - обращая матрицу, получим.
.
Результат
Исходное выражение
Комментарий - имеет определитель.
(детерминант)
Результат.
Если элементы матрицы числа, то соответствующие операции выполняются в числовой форме. Например,
9.6. Преобразования выделенных выражений
Все преобразования относительно выделенной переменной.
9.7. Интерпретация результатов символьных операций в буфере обмена
Если результат символьной операции громоздкий, то он выводится не в окно редактирования, а в буфер обмена в компактном текстовом формате. В нем используются:
- сообщения о шрифтах,
- операторы особого языка,
- имена специальных функций, употребляемых только при символьных преобразованиях.
Результаты символьных операций можно вызвать в окно документа, используя команду Paste. При желании его можно изучать. Однако такой результат является уже не математическим выражением, а только текстом. Тем не менее, владеющий математическими познаниями пользователь может с успехом использовать полученный таким образом результат.
В описании результата применяются следующие операторы:
1. Знаки арифметических операций +, -, *, /.
2. Возведение в степень **.
3. Производные от f(x) - первая diff(f(x),x), n-ая - diff(f(x),x$n).
4. Частные производные - первая D, n-ого порядка (D,n) и по n-ому аргументу (D[n]).
5. Интеграл от f(x) - int(f(x),x).
6. Оператор суммы - sum(…).
7. Оператор произведения product(…).
8. Композиция функций указывается символом @. Например, (exp@cos)(x) означает exp(cos(x)).
9. Композиция функций указывается символами @@ с числом повторений. Например, (f@@3)(x) означает f(f(f(x))).
10. Корни уравнения указываются записью RootOf(уравнение). Например, RootOf(Z**2+1) означает оба корня уравнения Z**2+1=0.
9.8. SmartMath - Чудо-математика
При использовании подсистемы SmartMath достигаются три преимущества:
1. Подсистема использует операторы, в которые входит преобразуемое выражение.
2. В операторах подсистемы присутствуют символы и ключевые слова, описывающие выполняемое действие.
3. Можно применять символические преобразования к функциям пользователя.
При работе с палитрой «Преобразования» используется символический знак равенства ® - символьный знак равенства.
Mathcad берет выражение слева от символьного знака равенства и помещает результат преобразования справа.
По умолчанию выполняется команда «Вычислить символически».
Возвращается выражение или число (если входящие в выражение переменные имеют определенные значения).
Изменить правило преобразования можно с помощью ключевых слов символики, которые вводятся между выражением и символьным знаком равенства.
Они выбираются из специальной палитры.
Вводится в двух формах:
форма 1, Без ключевого слова
форма 2. С ключевым словом
Первое пустое место для выражения, второе - для ключевого слова.
Палитра Symbolic Keyword
Вычислить символически
Вычислить символически
Modifiers Палитра модификаторов
Транспонировать матрицу
Обратить матрицу
Детерминант.
Директивы отличаются от операций меню Symbolics улучшенной визуализацией и дополнениями, упрощающими использование.
Директива «Вычислить символически».
При выборе выводится шаблон .
В пустое место надо ввести выражение для символического вычисления.
Альтернатива:
Если сначала набрать выражение, выделить его рамкой и нажать клавиши Ctrl + >, то справа от выражения выведется символьный знак равенства - стрелка. Получится аналогичный предыдущему заполненный шаблон.
После вывода курсора из шаблона нажатием клавиши <Entr> (или щелчком мыши за пределами области ввода) после стрелки выводится результат преобразования.
Дополнительно выводится ®
Директива «Вычислить символически с ключевым словом».
При выборе выводится шаблон .
В первый прямоугольник надо ввести выражение для символического вычисления. Во второй - ключевое слово, поясняющее выполняемое действие с панели Symbolic . После вывода курсора из шаблона после стрелки выводится результат преобразования.
Выражение и ключевое слово
Другие директивы.
Разные преобразования, требуют дополнительных параметров, число которых не одинаково для разных операций. Для улучшения визуального восприятия эти параметры для каждой директивы располагаются по-своему.
При выборе любого ключевого слова выводится шаблон, соответствующий операции этого слова. В нем находится ключевое слово и пустые места для заполнения. После заполнения пустых мест после стрелки выводится результат.
При директиве simplify - «Упростить»:
Шаблон директивы simplify.
Результат
При директиве float - «Плавающая точка»:
Шаблон директивы float. Слева от ключевого слова - место для выражения, справа - место для ввода числа десятичных цифр результата.
Результат
При директиве substitute - «Подстановка»:
Шаблон директивы substitute. Слева от ключевого слова - место для выражения, справа - места для ввода подвыражения подстановки.
Результат
Директивы матриц.
При их употреблении выводится шаблон директивы со стрелкой. В пустом месте вводится матрица. После вывода курсора из шаблона выводится результат. Например, при употреблении директивы получим:
Шаблон директивы
Введен шаблон конкретной матрицы
Матрица заполнена
Результат. В отличие от той же операции,
выполняемой через меню Symbolics,
дополнительно выводится стрелка
Детерминант (определитель) матрицы,
вычисленный в символьном виде.
Директивы с несколькими действиями
Несколько действий можно выполнить двумя способами:
1. С выводом результата каждого действия.
2. С выводом только конечного результата.
С выводом результата каждого действия.
Ввод каждой директивы завершается нажатием клавиши <Enter>. Перед каждым вводом маркер ввода устанавливается в месте ввода директивы.
Первая подстановка.
Две подстановки. Результаты
выведены для каждой.
С выводом только конечного результата. Используются средства программирования.
Директивы вводятся последовательно. При этом формируется подпрограмма, которая их последовательно выполняет. Каждая новая директива добавляется в список директив, объединяемых символом подпрограммы - вертикальная черта.
Например, упрощение выражения
x+y при x=2a и y=2a дает:
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 729;