Символьные вычисления в Mathcad

9.1. Основы

Символьные преобразования в Mathcad возможны двумя способами:

1. С помощью команд пункта Symbolics (Символьные операции) главного меню.

2. С использованием оператора символьных преобразований и операций палитры Symbolic (Символьные вычисления) – с использованием подсистемы SmartMath (чудо-математика).

Символьные преобразования осуществляются:

- над выделенным выражением,

- относительно переменной.

Чтобы выделить выражение для преобразования (поместить в выделяющую рамку) необходимо при нажатой левой кнопки мыши обвести его.

Выделить можно как часть выражения, так и все выражение.

Выделить переменную, относительно которой делается преобразование, можно с помощью маркера ввода, поместив его слева от имени переменной.

9.2. Преобразования с помощью команд пункта Symbolics

Операции пункта разделены на 5 групп:

1. Операции с выделенными выражениями.

2. Операции с выделенными переменными.

3. Операции с выделенными матрицами.

4. Операции преобразования.

5. Стиль эволюции (Стиль преобразования).

После выбора операции Mathcad выводит преобразования по выбору:

- на месте исходного выражения,

- под ним,

- справа от него.

Выбор осуществляется с использованием опции EvaluationStyle (Стиль преобразования) пункта Symbolics.

Выбор осуществляется в одноименном диалоговом окне:

Показать шаги эволюции

Вертикально со строками

Вертикально без строк

Горизонтально

Показать комментарий

Вычислить наместе

вместо исходного

В ответах могут появляться имена дополнительных специальных функций, которые нельзя употребить для численных вычислений. Например, arcsec(x). Для них нет подпрограмм численных вычислений. Такую функцию нужно представить стандартной.

9.3. Операции с выделенными выражениями

Примеры операций Evaluate - вычислить:

Слева выражение справа результат.

Вычислить символически сумму квадратов.

Производную от синуса.

В итоговом выражении есть p.

В формате с плавающей точкой.

Можно получить выражение >

машинной бесконечности.

Примеры операций Simplify - упростить:

Слева выражение, справа результат.

Вычислить символически функцию тангенса

Сумма квадратов синуса и косинуса.

Определенный интеграл. В итоговом

выражении есть специальная функция Si(t)

Производная от синуса. То же можно сделать,

используя опцию «Вычислить символически».

Примеры операций Expand - расширить (разложить по степеням):

Слева выражение, справа результат.

Вычислить символически сумму кубов.

Произведение сумм квадратов синуса и

косинуса.

В итоговом выражении есть специальная

Функция -Psi(1,k).

Примеры операций Factor - факторизация (разложение на сомножители):

Слева выражение, справа результат.

Сомножители с х в первой степени.

Второй сомножитель - квадратный

полином с комплексно-

сопряженными корнями.

Примеры операций Collect -комплектовать (разложить по подвыражению):

Слева выражение, справа результат.

Подвыражение - х. Его надо перед

операцией выделить маркером ввода.

Подвыражение - а. Его надо перед

операцией выделить маркером ввода.

В выражении может быть много переменных, поэтому подвыражение надо выделить маркером ввода.

Примеры операций Polynomial coefficients - полиномиальные коэффициенты:

Найти коэффициенты полинома по заданной переменной.

Слева выражение, справа результат.

Коэффициенты выводятся, начиная с

низшего порядка.

Вывод вектора в виде столбца.

Выделена переменная а.

Выделена переменная b.

9.4. Операции с выделенными переменными

Примеры операций Solve - решить:

Выражение, ниже комментарий и результат.

Квадратный полином.

Комментарий - имеет решение(я)

Вектор из символьных выражений для корней.

Выражение с комплексными корнями.

Комментарий - имеет решение(я)

Вектор решений. Ответ содержит комплексные числа.

Если ответом являются выражения с комплексными

числами, то ответ может помещаться в буфер в форме

текста. При желании его можно посмотреть.

Примеры операций Substitute - подстановка:

Выражение, ниже комментарий и результат.

Выражение для подстановки. Его надо скопировать в буфер.

Исходное выражение.

В нем надо выделить х маркером ввода.

Комментарий - путем подстановки получим.

Результат.

Примеры операций Differentiate - дифференцировать и

Integrate - интегрировать:

Дифференцировать и интегрировать всё выражение, содержащее выделенную переменную, по отношению к этой переменной остальные рассматриваются как константы.

Выражение, ниже комментарий и результат.

Исходное выражение.

В нем надо выделить х маркером ввода.

Комментарий - путем дифференцирования получим.

Результат. В нем вновь выделим х.

Комментарий - путем интегрирования получим.

Результат. Константа по умолчанию берется 0.

Примеры операций Expand to series… - Разложить в ряд Тейлора

Разложить функцию в ряд Тейлора. По первым трем членам ряда построить график, подтверждающий правомочность представления функции бесконечным рядом.

Выражение, ниже комментарий и результат.

Исходное выражение. Выделить переменную.

При диалоге выбрать порядок аппроксимирующего

полинома. Комментарий - преобразуется в ряд.

O() – погрешность представления ряда.

Исходное выражение в виде функции пользователя.

То же с разложением в ряд Тейлора (3 члена ряда).

Ранжированная переменная

Графики.

Выводы по задаче: точность представления функции в виде бесконечного числа членов ряда Тейлора зависит от количества членов ряда, участвующих в ее конечном отображении.

Примеры операций Convert to Partial Fraction - Разложить на элементарные дроби

Mathcad «пытается» представить знаменатель выражения в виде произведения сомножителей с переменной в первой, или второй степени с целочисленными коэффициентами, если таковы имеет место быть. Если это удается, то выражение преобразуется в сумму дробей, у которых знаменателями являются эти сомножители.

Исходное выражение

Комментарий - разлагается на элементарные дроби.

Результат.

9.5. Операции с выделенными матрицами

Примеры операций Matrix - Матрицы

Выражение, ниже комментарий и результат.

Исходное выражение

Комментарий - транспонируя матрицу, получим.

Результат.

Исходное выражение

Комментарий - обращая матрицу, получим.

.

Результат

Исходное выражение

Комментарий - имеет определитель.

(детерминант)

Результат.

Если элементы матрицы числа, то соответствующие операции выполняются в числовой форме. Например,

9.6. Преобразования выделенных выражений

Все преобразования относительно выделенной переменной.

9.7. Интерпретация результатов символьных операций в буфере обмена

Если результат символьной операции громоздкий, то он выводится не в окно редактирования, а в буфер обмена в компактном текстовом формате. В нем используются:

- сообщения о шрифтах,

- операторы особого языка,

- имена специальных функций, употребляемых только при символьных преобразованиях.

Результаты символьных операций можно вызвать в окно документа, используя команду Paste. При желании его можно изучать. Однако такой результат является уже не математическим выражением, а только текстом. Тем не менее, владеющий математическими познаниями пользователь может с успехом использовать полученный таким образом результат.

В описании результата применяются следующие операторы:

1. Знаки арифметических операций +, -, *, /.

2. Возведение в степень **.

3. Производные от f(x) - первая diff(f(x),x), n-ая - diff(f(x),x$n).

4. Частные производные - первая D, n-ого порядка (D,n) и по n-ому аргументу (D[n]).

5. Интеграл от f(x) - int(f(x),x).

6. Оператор суммы - sum(…).

7. Оператор произведения product(…).

8. Композиция функций указывается символом @. Например, (exp@cos)(x) означает exp(cos(x)).

9. Композиция функций указывается символами @@ с числом повторений. Например, (f@@3)(x) означает f(f(f(x))).

10. Корни уравнения указываются записью RootOf(уравнение). Например, RootOf(Z**2+1) означает оба корня уравнения Z**2+1=0.

9.8. SmartMath - Чудо-математика

При использовании подсистемы SmartMath достигаются три преимущества:

1. Подсистема использует операторы, в которые входит преобразуемое выражение.

2. В операторах подсистемы присутствуют символы и ключевые слова, описывающие выполняемое действие.

3. Можно применять символические преобразования к функциям пользователя.

При работе с палитрой «Преобразования» используется символический знак равенства ® - символьный знак равенства.

Mathcad берет выражение слева от символьного знака равенства и помещает результат преобразования справа.

По умолчанию выполняется команда «Вычислить символически».

Возвращается выражение или число (если входящие в выражение переменные имеют определенные значения).

Изменить правило преобразования можно с помощью ключевых слов символики, которые вводятся между выражением и символьным знаком равенства.

Они выбираются из специальной палитры.

Вводится в двух формах:

форма 1, Без ключевого слова

форма 2. С ключевым словом

Первое пустое место для выражения, второе - для ключевого слова.

Палитра Symbolic Keyword

Вычислить символически

Вычислить символически

Modifiers Палитра модификаторов

Транспонировать матрицу

Обратить матрицу

Детерминант.

Директивы отличаются от операций меню Symbolics улучшенной визуализацией и дополнениями, упрощающими использование.

Директива «Вычислить символически».

При выборе выводится шаблон .

В пустое место надо ввести выражение для символического вычисления.

Альтернатива:

Если сначала набрать выражение, выделить его рамкой и нажать клавиши Ctrl + >, то справа от выражения выведется символьный знак равенства - стрелка. Получится аналогичный предыдущему заполненный шаблон.

После вывода курсора из шаблона нажатием клавиши <Entr> (или щелчком мыши за пределами области ввода) после стрелки выводится результат преобразования.

Дополнительно выводится ®

Директива «Вычислить символически с ключевым словом».

При выборе выводится шаблон .

В первый прямоугольник надо ввести выражение для символического вычисления. Во второй - ключевое слово, поясняющее выполняемое действие с панели Symbolic . После вывода курсора из шаблона после стрелки выводится результат преобразования.

Выражение и ключевое слово

Другие директивы.

Разные преобразования, требуют дополнительных параметров, число которых не одинаково для разных операций. Для улучшения визуального восприятия эти параметры для каждой директивы располагаются по-своему.

При выборе любого ключевого слова выводится шаблон, соответствующий операции этого слова. В нем находится ключевое слово и пустые места для заполнения. После заполнения пустых мест после стрелки выводится результат.

При директиве simplify - «Упростить»:

Шаблон директивы simplify.

Результат

При директиве float - «Плавающая точка»:

Шаблон директивы float. Слева от ключевого слова - место для выражения, справа - место для ввода числа десятичных цифр результата.

Результат

При директиве substitute - «Подстановка»:

Шаблон директивы substitute. Слева от ключевого слова - место для выражения, справа - места для ввода подвыражения подстановки.

Результат

Директивы матриц.

При их употреблении выводится шаблон директивы со стрелкой. В пустом месте вводится матрица. После вывода курсора из шаблона выводится результат. Например, при употреблении директивы получим:

Шаблон директивы

Введен шаблон конкретной матрицы

Матрица заполнена

Результат. В отличие от той же операции,

выполняемой через меню Symbolics,

дополнительно выводится стрелка

Детерминант (определитель) матрицы,

вычисленный в символьном виде.

Директивы с несколькими действиями

Несколько действий можно выполнить двумя способами:

1. С выводом результата каждого действия.

2. С выводом только конечного результата.

С выводом результата каждого действия.

Ввод каждой директивы завершается нажатием клавиши <Enter>. Перед каждым вводом маркер ввода устанавливается в месте ввода директивы.

Первая подстановка.

Две подстановки. Результаты

выведены для каждой.

С выводом только конечного результата. Используются средства программирования.

Директивы вводятся последовательно. При этом формируется подпрограмма, которая их последовательно выполняет. Каждая новая директива добавляется в список директив, объединяемых символом подпрограммы - вертикальная черта.

Например, упрощение выражения

x+y при x=2a и y=2a дает:

1 23

Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 621;