Символьные вычисления в Mathcad


9.1. Основы

Символьные преобразования в Mathcad возможны двумя способами:

1. С помощью команд пункта Symbolics (Символьные операции) главного меню.

2. С использованием оператора символьных преобразований и операций палитры Symbolic (Символьные вычисления) – с использованием подсистемы SmartMath (чудо-математика).

 

Символьные преобразования осуществляются:

- над выделенным выражением,

- относительно переменной.

 

Чтобы выделить выражение для преобразования (поместить в выделяющую рамку) необходимо при нажатой левой кнопки мыши обвести его.

Выделить можно как часть выражения, так и все выражение.

 

Выделить переменную, относительно которой делается преобразование, можно с помощью маркера ввода, поместив его слева от имени переменной.

 

9.2. Преобразования с помощью команд пункта Symbolics

Операции пункта разделены на 5 групп:

1. Операции с выделенными выражениями.

2. Операции с выделенными переменными.

3. Операции с выделенными матрицами.

4. Операции преобразования.

5. Стиль эволюции (Стиль преобразования).

 

После выбора операции Mathcad выводит преобразования по выбору:

- на месте исходного выражения,

- под ним,

- справа от него.

         
Выбор осуществляется с использованием опции EvaluationStyle (Стиль преобразования) пункта Symbolics.

Выбор осуществляется в одноименном диалоговом окне:


Показать шаги эволюции

Вертикально со строками

Вертикально без строк

Горизонтально

 

Показать комментарий

Вычислить наместе

вместо исходного

 

В ответах могут появляться имена дополнительных специальных функций, которые нельзя употребить для численных вычислений. Например, arcsec(x). Для них нет подпрограмм численных вычислений. Такую функцию нужно представить стандартной.

9.3. Операции с выделенными выражениями

 

 


Примеры операций Evaluate - вычислить:

 
 


Слева выражение справа результат.

Вычислить символически сумму квадратов.

 

Производную от синуса.

 

В итоговом выражении есть p.

 

В формате с плавающей точкой.

 

Можно получить выражение >

машинной бесконечности.

 

Примеры операций Simplify - упростить:


Слева выражение, справа результат.

Вычислить символически функцию тангенса

Сумма квадратов синуса и косинуса.

 

 

Определенный интеграл. В итоговом

выражении есть специальная функция Si(t)

 

 

Производная от синуса. То же можно сделать,

используя опцию «Вычислить символически».

 

Примеры операций Expand - расширить (разложить по степеням):

 
 


Слева выражение, справа результат.

Вычислить символически сумму кубов.

Произведение сумм квадратов синуса и

косинуса.

 
 


В итоговом выражении есть специальная

Функция -Psi(1,k).

Примеры операций Factor - факторизация (разложение на сомножители):

 
 


Слева выражение, справа результат.

Сомножители с х в первой степени.

Второй сомножитель - квадратный

полином с комплексно-

сопряженными корнями.

 

 

Примеры операций Collect -комплектовать (разложить по подвыражению):

 

Слева выражение, справа результат.

Подвыражение - х. Его надо перед

операцией выделить маркером ввода.

Подвыражение - а. Его надо перед

операцией выделить маркером ввода.

 

В выражении может быть много переменных, поэтому подвыражение надо выделить маркером ввода.

 

Примеры операций Polynomial coefficients - полиномиальные коэффициенты:

 

Найти коэффициенты полинома по заданной переменной.

Слева выражение, справа результат.

 

Коэффициенты выводятся, начиная с

низшего порядка.

Вывод вектора в виде столбца.

 
 


Выделена переменная а.

 

Выделена переменная b.

 

 

9.4. Операции с выделенными переменными

 

 


Примеры операций Solve - решить:

Выражение, ниже комментарий и результат.

Квадратный полином.

Комментарий - имеет решение(я)

 

 

Вектор из символьных выражений для корней.

 

Выражение с комплексными корнями.

 

Комментарий - имеет решение(я)

 

 

Вектор решений. Ответ содержит комплексные числа.

Если ответом являются выражения с комплексными

числами, то ответ может помещаться в буфер в форме

текста. При желании его можно посмотреть.

 

Примеры операций Substitute - подстановка:

 

Выражение, ниже комментарий и результат.

Выражение для подстановки. Его надо скопировать в буфер.

Исходное выражение.

В нем надо выделить х маркером ввода.

Комментарий - путем подстановки получим.

 

Результат.

 

Примеры операций Differentiate - дифференцировать и

Integrate - интегрировать:

 

Дифференцировать и интегрировать всё выражение, содержащее выделенную переменную, по отношению к этой переменной остальные рассматриваются как константы.

 

Выражение, ниже комментарий и результат.

Исходное выражение.

В нем надо выделить х маркером ввода.

Комментарий - путем дифференцирования получим.

Результат. В нем вновь выделим х.

Комментарий - путем интегрирования получим.

 

Результат. Константа по умолчанию берется 0.

Примеры операций Expand to series… - Разложить в ряд Тейлора

 

Разложить функцию в ряд Тейлора. По первым трем членам ряда построить график, подтверждающий правомочность представления функции бесконечным рядом.

 
 


Выражение, ниже комментарий и результат.

Исходное выражение. Выделить переменную.

При диалоге выбрать порядок аппроксимирующего

полинома. Комментарий - преобразуется в ряд.

 

O() – погрешность представления ряда.

 

Исходное выражение в виде функции пользователя.

 

То же с разложением в ряд Тейлора (3 члена ряда).

 

Ранжированная переменная

 
 


Графики.

 

 
 

 


Выводы по задаче: точность представления функции в виде бесконечного числа членов ряда Тейлора зависит от количества членов ряда, участвующих в ее конечном отображении.

 

Примеры операций Convert to Partial Fraction - Разложить на элементарные дроби

 

Mathcad «пытается» представить знаменатель выражения в виде произведения сомножителей с переменной в первой, или второй степени с целочисленными коэффициентами, если таковы имеет место быть. Если это удается, то выражение преобразуется в сумму дробей, у которых знаменателями являются эти сомножители.

 
 

 

 


Исходное выражение

 

Комментарий - разлагается на элементарные дроби.

 

 

Результат.

 

 

9.5. Операции с выделенными матрицами

 
 

 


Примеры операций Matrix - Матрицы

 

Выражение, ниже комментарий и результат.

 
 


Исходное выражение

 

Комментарий - транспонируя матрицу, получим.

 

Результат.

 

 
 


Исходное выражение

 

Комментарий - обращая матрицу, получим.

 

.

Результат

 

Исходное выражение

 

Комментарий - имеет определитель.

(детерминант)

Результат.

 

Если элементы матрицы числа, то соответствующие операции выполняются в числовой форме. Например,

 

9.6. Преобразования выделенных выражений

 

 


Все преобразования относительно выделенной переменной.

 

9.7. Интерпретация результатов символьных операций в буфере обмена

 

Если результат символьной операции громоздкий, то он выводится не в окно редактирования, а в буфер обмена в компактном текстовом формате. В нем используются:

- сообщения о шрифтах,

- операторы особого языка,

- имена специальных функций, употребляемых только при символьных преобразованиях.

 

Результаты символьных операций можно вызвать в окно документа, используя команду Paste. При желании его можно изучать. Однако такой результат является уже не математическим выражением, а только текстом. Тем не менее, владеющий математическими познаниями пользователь может с успехом использовать полученный таким образом результат.

 

В описании результата применяются следующие операторы:

1. Знаки арифметических операций +, -, *, /.

2. Возведение в степень **.

3. Производные от f(x) - первая diff(f(x),x), n-ая - diff(f(x),x$n).

4. Частные производные - первая D, n-ого порядка (D,n) и по n-ому аргументу (D[n]).

5. Интеграл от f(x) - int(f(x),x).

6. Оператор суммы - sum(…).

7. Оператор произведения product(…).

8. Композиция функций указывается символом @. Например, (exp@cos)(x) означает exp(cos(x)).

9. Композиция функций указывается символами @@ с числом повторений. Например, (f@@3)(x) означает f(f(f(x))).

10. Корни уравнения указываются записью RootOf(уравнение). Например, RootOf(Z**2+1) означает оба корня уравнения Z**2+1=0.

 

9.8. SmartMath - Чудо-математика

 

При использовании подсистемы SmartMath достигаются три преимущества:

1. Подсистема использует операторы, в которые входит преобразуемое выражение.

2. В операторах подсистемы присутствуют символы и ключевые слова, описывающие выполняемое действие.

3. Можно применять символические преобразования к функциям пользователя.

 

При работе с палитрой «Преобразования» используется символический знак равенства ® - символьный знак равенства.

Mathcad берет выражение слева от символьного знака равенства и помещает результат преобразования справа.

По умолчанию выполняется команда «Вычислить символически».

Возвращается выражение или число (если входящие в выражение переменные имеют определенные значения).

Изменить правило преобразования можно с помощью ключевых слов символики, которые вводятся между выражением и символьным знаком равенства.

Они выбираются из специальной палитры.

 

Вводится в двух формах:

форма 1, Без ключевого слова

форма 2. С ключевым словом

 

Первое пустое место для выражения, второе - для ключевого слова.

Палитра Symbolic Keyword

Вычислить символически

Вычислить символически

Modifiers Палитра модификаторов

Транспонировать матрицу

Обратить матрицу

Детерминант.

Директивы отличаются от операций меню Symbolics улучшенной визуализацией и дополнениями, упрощающими использование.

 

Директива «Вычислить символически».

При выборе выводится шаблон .

В пустое место надо ввести выражение для символического вычисления.

Альтернатива:

Если сначала набрать выражение, выделить его рамкой и нажать клавиши Ctrl + >, то справа от выражения выведется символьный знак равенства - стрелка. Получится аналогичный предыдущему заполненный шаблон.

После вывода курсора из шаблона нажатием клавиши <Entr> (или щелчком мыши за пределами области ввода) после стрелки выводится результат преобразования.

Дополнительно выводится ®

 

Директива «Вычислить символически с ключевым словом».

При выборе выводится шаблон .

В первый прямоугольник надо ввести выражение для символического вычисления. Во второй - ключевое слово, поясняющее выполняемое действие с панели Symbolic . После вывода курсора из шаблона после стрелки выводится результат преобразования.

Выражение и ключевое слово

 

Другие директивы.

Разные преобразования, требуют дополнительных параметров, число которых не одинаково для разных операций. Для улучшения визуального восприятия эти параметры для каждой директивы располагаются по-своему.

При выборе любого ключевого слова выводится шаблон, соответствующий операции этого слова. В нем находится ключевое слово и пустые места для заполнения. После заполнения пустых мест после стрелки выводится результат.

 

При директиве simplify - «Упростить»:

Шаблон директивы simplify.

Результат

 

При директиве float - «Плавающая точка»:

Шаблон директивы float. Слева от ключевого слова - место для выражения, справа - место для ввода числа десятичных цифр результата.

Результат

 

При директиве substitute - «Подстановка»:

Шаблон директивы substitute. Слева от ключевого слова - место для выражения, справа - места для ввода подвыражения подстановки.

Результат

Директивы матриц.

При их употреблении выводится шаблон директивы со стрелкой. В пустом месте вводится матрица. После вывода курсора из шаблона выводится результат. Например, при употреблении директивы получим:

Шаблон директивы

 

Введен шаблон конкретной матрицы

 

Матрица заполнена

 

 
 

 


Результат. В отличие от той же операции,

выполняемой через меню Symbolics,

дополнительно выводится стрелка

 

 
 


Детерминант (определитель) матрицы,

вычисленный в символьном виде.

 

Директивы с несколькими действиями

Несколько действий можно выполнить двумя способами:

1. С выводом результата каждого действия.

2. С выводом только конечного результата.

 

С выводом результата каждого действия.

Ввод каждой директивы завершается нажатием клавиши <Enter>. Перед каждым вводом маркер ввода устанавливается в месте ввода директивы.

 

Первая подстановка.

Две подстановки. Результаты

выведены для каждой.

 

С выводом только конечного результата. Используются средства программирования.

Директивы вводятся последовательно. При этом формируется подпрограмма, которая их последовательно выполняет. Каждая новая директива добавляется в список директив, объединяемых символом подпрограммы - вертикальная черта.

Например, упрощение выражения

x+y при x=2a и y=2a дает:



Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 731;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.056 сек.