Метод Эйлера для решения скалярной задачи Коши (вывод расчетной формулы, геометрический смысл) и его недостатки.
Задача Коши состоит в том , что бы найти решение , которое бы удовлетворяла системе (5) или соответствующему векторному уравнению(6) или условию (7)
Х0- фиксированное значение,
-значение yi в х0
Геометрически это значит, что требуется отыскать интегральную кривую . Которая проходит через заданную точку
Для системы ОДУ можно сформулировать теорему о существовании и единственности решения.
Теорема: Пусть в некоторой окрестности начального значения
Система (5)обладает след.свойствами
1.Правые части (5)определены и непрерывны в облаcти U
2. Ф-циия fi в окресности U должны удовлетворять условию Липнинца ( ); (y1,y2,…,yn)
|f( )-fi(x,y1,y2,…,yn)<N (8)
Условие (8) гарантирует существование единственного решения, которое определено в окрестности точки |x-x0|<h ,h>0
При выполнении условия (1),(2),(3)
Y’=f(x,y);
y=y(x) (2)
y0=y(x0) (3)
Задача Коши разрешима и имеет единственное решение, т.е через точку М0 проходит единственная интегральная кривая.
Замечание: вместо условия Липшица достаточно потребовать ограничения производных , I,j-=1,n. Тогда за N можно взять
Однако для линейных ф-ций f(x,y) как правило общее решение ОДУ не удается найти , поэтому возникают потребности в создании большого числа приближенных методов решения дифференциальных уравнений. Все эти методы можно разделить на 3 группы:
1.Аналитические методы, которые дают приближенные решения в виде аналитических выражений.
2. Графические методы, которые дают приближенное решение в виде графика
3. Численные методы , которые достигаются приближенным решением в виде таблиц.
Среди численных методов можно выделить и рассмотреть:
1. Интегрированные ДУ с помощью степенных рядов.
2. Метод последовательных приближений.
3. Метод Эйлера
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 90;