Достаточные условия сходимости метода простой итерации (теоремы, оценки погрешностей).
Теорема сходимости:
Пусть существует функция определена и дифференцируема на отрезке [a,b]. Причем все значения функции принадлежат отрезку [a,b], тогда если существует правильная дробь 0<q<1 такая что для где n=0,1,2… сходятся независимо от начального приближения , причем предельное значение и этот корень единственный.
Доказательство:
приводя к эквивалентному виду
Обозначим за q=sup
Последовательность приближений хn есть частичные суммы Sn+1 ряда 4
S2=x1
S3=x2……
Sn+1=xn
Члены ряда 4 по абсолютной величине начиная с 3, меньше членов арифметической прогрессии со значениями 0<q<1, q;q2;q3;…;qn.
Геометрическая прогрессия является сходящейся, значит существует
В силу непрерывности можно записать , значит этот корень уравнения (2).
Докажем единственность:
Пусть существует которая является корнем (2)
, найдем
с- внутренняя точка отрезка [a,b].
Замечание 1:
1. Константа q – носит название константы Липшиця.
2. Наша теорема справедлива, если функция будет определена и дифференцируема на интервале (- , + ), но лишь в том случае, когда константа Липшиця .
3. В условиях теоремы метод итерации сходится для любого х0 [a,b] благодаря чему он является самоисправляющийся, т.е. отдельные ошибки в вычислениях не влияют на результат.
Оценка приближений
Рассмотрим модуль разности известно, что модуль суммы Процесс итерации сходится тем быстрее чем меньше q.
При желании можно вывести
Замечание: Если q=1\2, то
Процесс итерации следует продолжать до тех пор пока 2 последующих приближений не будет удовлетворять условию
Докажем, что каждое из приближений xn располагается ближе к корню.
т.е. последовательность приближений изменяется монотонно и каждое последующее приближение n располагается ближе к корню .
Теорема сходимости 2:
Пусть определена и дифференцируема на некотором отрезке [a,b], причем х= имеет корень лежащий в более узком отрезке , где тогда если:
1.
2. , то все последующие приближения будут принадлежать интервалу [a,b], и процесс итерации будет сходится к единственному корню уравнения х= , причем будет выполняться оценка (5).
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 94;