Вывод квадратурных формул Ньютона - Котеса.

Пусть для данной функции y=f(x) определенной на [a,b] нужно вычислить определенный интеграл для этого необходимо выбрать шаг и разбить [a,b] на n равных частей. x₀=a, x₁=h, x₂=h, …, x_n=b.

Будем представлять, что знаем значение функции в этих точках y_i=f(x_i).

Для вычисления интеграла необходимо представить виде квадратичной формулы

(2) Формула Ньютона – Котеса A_i- некоторый коэффициент формулы.

Выпишем интегральный полином Лагранжа для функции f(x) с учетом узлов сетки.

получим, что

Формула трапеции и ее остаточный член(вывод основной и общей формулы, запись остаточного члена, оценка шага интегрирования)

1. n=1

Оценка:

Интегрируя выражение по h и воспользовавшись теоремой о среднем получим

Формула Симпсона и ее остаточный член (вывод основной и обобщенной формул, запись остаточного члена, оценка шага интегрирования)

Формула получается при n=2 из формулы Ньютона – Котеса

Оценка:

Разбивая промежуток на равных частей точками , и применяя формулу (71)

(71)

к каждому из частичных промежутков длины , получаем обобщенную формулу Симпсона:

Оценка погрешности этой формулы следует из (72)

следует

(74)