Конечные разности различных порядков. Таблицы разностей.
Конечные разности различных порядков
y=f(x) обозначим , h- фиксированная величина приращения аргумента функции или шаг.
Найдем приращение функции
(1) Называется 1-й конечной разностью, n-я конечная разность вычисляется по формуле:
Пусть y=x3 x=1
Пусть f(х)есть многочлен n-й степени
Свойства конечных разностей:
1. Конечная разность
2.
3.
Выразим конечные разности через функции
Пусть функция y=f(x) имеет n-ю производную на отрезке , тогда можно записать, что n-я производная функции
Таблица конечных разностей
Приходится рассматривать функция заданную таблично где
Конечные разности последовательности yi определяется соотношением
Вспомним бином Ньютона, можно показать что n-я конечная разность yi может быть представлена как сумма
Данные конечные разности удобно располагать виде таблиц:
1. Горизонтальная
2. Диагональная
Чаще на практике используется горизонтальная таблица она имеет вид:
x | y | y | 2y | 3y |
x0 | y0 | y0 | 2 y0 | 3 y0 |
x1 | y1 | y1 | 2y1 | 3y1 |
x2 | y2 | y2 | 2 y2 | 3 y2 |
… | … | .. | … | … |
xn | yn | yn | 2 yn | 3 yn |
Диагональная
x | y | y | 2y | 3y |
x0 | y0 | y0 | ||
x1 | y1 | 2 y0 | ||
x2 | y1 | 2y1 | 3 y0 |
Постановка задач аппроксимации функции, общей задачи интерполирования, простейшей задачи интерполирования.
Обобщенная степень
Обобщенной n степенью числа х называется произведение n сомножителей первой из которых является х, а каждый следующий сомножитель , на h меньше предыдущего.
Х[n]- обозначение.
Найдем конечную разность для обобщенной степени.
f(x)=x[n], тогда
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 140;