Кинематический анализ методом диаграмм

Метод диаграмм также является графическим методом кинематического исследования механизмов, основанным на следующих относительно несложных теоретических предпосылках.

Запишем дифференциальные соотношения для угловой скорости и углового ускорения некоторого k-тогo звена механизма и выполним их тождественные преобразования.

Имеем: .

Здесь: — угловая скорость k-тогo звена, рад/с; — угол поворота k-тогo звена, рад; — угол поворота входного звена механизма, закон движения которого известен (условно этим звеном полагаем звено 1).

После такого преобразования имеем произведение двух множителей, второй из которых есть угловая скорость входного звена, а первый является безразмерной величиной, которую можно охарактеризовать как скорость изменения угла поворота k-тогo звена при изменении угла поворота входного звена. Называется эта величина аналогом угловой скорости k-тогo звена (обозначается символом ) и, таким образом, действительная угловая скорость равна произведению аналога угловой скорости и действительной угловой скорости входного звена:

(1).

Далее:

.

(2).

Здесь: — угловое ускорение k-тогo звена, рад/с²; —аналог углового ускорения k-тогo звена, рад/рад² .

Аналогичным образом могут быть получены формулы, связывающие действительные скорость и ускорение какой-либо точки механизма с кинематическими параметрамивходного звена посредством аналогов скорости и ускорения данной точки:

(3);

(4).

Таким образом, действительные угловая скорость и угловое ускорение произвольного звена механизма, или действительные скорость и ускорение любой его точки могут быть выражены линейными соотношениями между этими величинами и угловой скоростью и угловым ускорением того звена механизма, закон движения которого задан. Коэффициентами в этих соотношениях являются аналоги искомых скоростей и ускорений звеньев или точек механизма, в результате чего кинематическое исследование механизма может быть сведено к отысканию этих аналогов с последующим использованием формул (1) – (4).

Замечание.Соотношения, аналогичные формулам (1) – (4), можно получить и при поступательном движении входного звена механизма. Рассмотренный случай более актуален, поскольку обычно в качестве входного выбирается звено, совершающее простое вращательное движение, поскольку с таким звеном легко сопрягаются наиболее распространенные приводы, включающие электродвигатель и механизм передачи.

Как показано выше, аналоги не зависят от времени, а зависят от угла поворота входного звена. Поэтому операция отыскания аналогов может быть сведена к ряду геометрических построений, содержание которых удобнее проиллюстрировать на примере.

Пусть задан кривошипно-ползунный механизм (рис. 3.9).

Рис. 3.9

Определим аналоги скорости и ускорения выходного звена механизма — ползуна 3 — за цикл движения, соответствующий одному обороту входного звена — кривошипа 1 — при постоянной скорости вращения входного звена (такое движение еще называется основным или перманентным).

Выше показано, что аналоги скорости и ускорения определяются на основе зависимостей, связывающих перемещение звена или точки, кинематические параметры которых являются искомыми, с перемещением входного звена (с обобщенной координатой). Поэтому вновь обращаемся к построению ряда положений механизма, достаточно близко отстоящих друг от друга для обеспечения требуемой точности результатов.

Согласно методике, приведенной в разделе 3.2, определяем крайние положения механизма (см. рис. 3.10), одно из крайних принимаем за начальное (нулевое) положение, выбираем направление вращения кривошипа и строим, например, шесть положений механизма через каждые 60 градусов поворота кривошипа (рис. 3.10). Точность результатов при таком выборе числа положений механизма будет минимальна, однако здесь приоритетом будем полагать наглядность графического материала, которая невозможна при большой плотности последнего.

Рис. 3.10

Непосредственно из чертежа определяем значения перемещения выходного звена через каждые 60 градусов поворота кривошипа и составляем табличную функцию

Таблица 3.1

№ пол.
.град.
, мм		6,8	24,8	40,9	32,5

По данным таблицы строим диаграмму перемещений ползуна 3 (т.е. переводим табличную форму функции в графическую, см. рис. 3.11, а).

Выполняя графическое дифференцирование диаграммы перемещений, строим диаграммы аналогов скоростей и ускорений ползуна (рис. 3.11, б,в). Рассмотрим подробнее эту операцию. Исходим из геометрического смысла производной, согласно которому производная функции в некоторой точке численно равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.