На плоской пластине
Рассмотрим поток, обладающий неизменными теплофизическими характеристиками (r, m, l, cp = const), совершающий вынужденное движение вдоль плоской полубесконечной тонкой пластины и обменивающейся с ней теплом. Предположим, что неограниченный поток со скоростью
и температурой Т° набегает на полубесконечную пластину, совпадающую
с плоскостью х – z и имеющую температуру Тст = const.
Выделим гидродинамический и тепловой пограничные слои
с толщиной dг и dт соответственно (область 99 % изменение скорости wx и температуры T). В ядре потока и Т° постоянны.
I. Ламинарные пограничные слои (рис. 1.3).
y |
wx |
Tст |
(T–Tст) |
dг(x) |
dт(x) |
x |
x |
z |
Рис. 1.3. Гидродинамический и тепловой ламинарные пограничные слои
на плоской пластине
Проанализируем уравнения неразрывности и Навье-Стокса. Задача двумерная, поскольку wz, . По экспериментальным данным известно, что в гидродинамическом пограничном слое . В ядре потока const, поэтому, согласно уравнению Бернулли , в пограничном слое то же самое .
Как известно x >> dг, поэтому
Следовательно, имеем
; (22)
. (23)
Записывать аналогичные уравнения для оси у не имеет смысла, так как wy может быть найдена из уравнения неразрывности (22). Используя аналогичные процедуры можно упростить и уравнение Фурье-Кирхгофа
. (24)
Система дифференциальных уравнений (22)–(24) составляет изотермическую математическую модель плоского стационарного теплового ламинарного пограничного слоя.
Сформулируем граничные условия
на границе с пластиной, т.е. при у = 0: при любом х скорость wx = 0 (условие прилипания). На границе и вне гидродинамического погранслоя,
т.е. при у ≥ dг(х), а также при х = 0 для любого у: wx = . Для поля температуры аналогичные рассуждения.
Итак, граничные условия:
wx (x, 0) = 0, x > 0; wx (x, ∞) = ; wx (0, y) = ; (25)
T (x, 0) = Tст, x > 0; T (x, ∞) = ; T (0, y) = . (26)
Точное решение этой задачи в виде бесконечных рядов было получено Блазиусом. Имеются более простые приближенные решения: метод интегральных соотношений (Юдаев) и теорема импульсов (Шлихтинг). А.И. Разиновым задача была решена методом сопряженного физического
и математического моделирования. Были получены профили скоростей
wx (x, y), wy (x, y) и температур Т, а также толщины пограничных слоев
dг(x) и dт (х)
; (27)
, Pr ≥ 1; (28)
Pr = ν/a.
Коэффициент А в формуле (27) у Разинова – 5,83; Юдаева – 4,64; Блаузиуса – 4; Шлихтинга – 5,0. Примерный вид найденных зависимостей приведен на рис. 1.3.
Как известно, для газов Pr ≈ 1, капельных жидкостей Pr > 1.
Полученные результаты позволяют определить коэффициенты импульсо-и теплоотдачи. Локальные значения γ(x) и Nuг,x
поэтому
,
где . (29)
Усредненные значения и по участку длиной l
, , . (30)
ИТОГ для теплоотдачи
; (31)
, . (32)
В данном случае аналогия тепло- и импульсоотдачи сохраняется (исходные уравнения одинаковы, граничные условия подобны). Критерий, характеризующий гидродинамическую аналогию процесса теплоотдачи имеет вид
Pт-г,x = Nuт,x / Nuг,x = Pr1/3. (33)
Если Pr = 1, то Pт-г,x = 1, следовательно полная аналогия процессов импульсо- и теплоотдачи.
Из полученных уравнений следует
γ ~ , m; a ~ , l. (34)
Как правило, подобная качественная зависимость выполняется
не только для плоского погранслоя, но и для более сложных случаев.
II. Турбулентные пограничные слои (рис. 1.4)
у |
х |
dг dт |
dт = dг |
турбулентный слой |
переходная область |
z |
внешняя область |
d1т |
пристенная область |
d1г |
- Tст |
ламинарный слой |
Tст |
Рис. 1.4. Гидродинамический и тепловой турбулентные пограничные слои
на плоской пластине
Задача рассматривается в изотермической постановке, тепловые граничные условия первого рода Тст = const.
По мере удаления от кромки пластины (увеличения координаты х) происходит рост dг(х). При этом неоднородность поля скорости wx распространяется в области все более удаленные от границы раздела фаз,
что является предпосылкой возникновения турбулентности. Наконец, при Rex,кp начинается переход ламинарного режима в турбулентный. Переходная зона соответствует значениям х, рассчитанным по Rex от 3,5 × 105 ÷ 5 × 105.
На расстояниях Rex > 5 × 105 весь пограничный слой турбулизируется,
за исключением вязкого или ламинарного подслоя толщиной d1г. В ядре потока скорость не меняется. Если Pr > 1 то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой толщиной d1т, в котором молекулярный перенос тепла преобладает над турбулентным.
Толщина же всего турбулентного теплового пограничного слоя обычно определяется из условия νт = ат, следовательно dг = dт.
Сначала рассмотрим турбулентный гидродинамический пограничный слой (рис. 1.4). Оставим в силе все приближения, сделанные для ламинарного слоя. Единственное отличие – наличие νт (у), поэтому
. (35)
Сохраним и граничные условия. Решением системы уравнений (35)
и (22) с граничными условиями (25), используя полуэмпирическую модель пристенчатой турбулентности Прандтля, можно получить характеристики турбулентного пограничного слоя. В вязком подслое, где реализуется линейный закон распределения скорости, можно пренебречь турбулентным переносом импульса, а вне его молекулярным. В пристенной области (за вычетом вязкого подслоя) обычно принимается логарифмический профиль скорости, а во внешней области – степенной закон с показателем 1/7 (рис. 1.4).
Как и в случае ламинарного пограничного слоя возможно использование осредненных по длине l коэффициентов импульсоотдачи
. (36)
Рассмотрим тепловой турбулентный пограничный слой. Уравнение энергии имеет вид
. (37)
Если Pr > 1, то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой, где молекулярный перенос тепла
. (38)
Для локального коэффициента теплоотдачи решение математической модели имеет вид
. (39)
Среднее по длине пластины значение определяется так
. (40)
Ниже представлены образование турбулентного пограничного слоя (а) и распределение локального коэффициента теплоотдачи (б) при продольном обтекании плоской полубесконечной пластины (рис. 1.5).
y |
x |
dт |
d1,т |
d1,г |
δг = dт |
lкр |
x |
ламинарный слой |
переходная зона |
турбулентный слой |
a |
dг |
Рис. 1.5. Пограничные слои dг и dт и локальный коэффициент теплоотдачи a
на плоской пластине
В ламинарном слое (х ≤ lкр) тепловой поток реализуется только за счет теплопроводности, для качественной оценки можно использовать соотношение a ~ .
В переходной зоне общая толщина пограничного слоя увеличивается. Однако значение a при этом увеличивается, потому что толщина ламинарного подслоя уменьшается, а в образующемся турбулентном слое тепло переносится не только теплопроводностью, но и конвекцией вместе
с перемещающейся массой жидкости, т.е. более интенсивно. В результате суммарное термическое сопротивление теплоотдачи убывает. В зоне развитого турбулентного режима коэффициент теплоотдачи вновь начинает убывать из-за возрастания общей толщины пограничного слоя a ~ .
Итак, рассмотрены гидродинамический и тепловой пограничные слои на плоской пластине. Качественный характер полученных зависимостей справедлив и для пограничных слоев, образующихся при обтекании более сложных поверхностей.
Дата добавления: 2018-05-10; просмотров: 714;