На плоской пластине


 

Рассмотрим поток, обладающий неизменными теплофизическими характеристиками (r, m, l, cp = const), совершающий вынужденное движение вдоль плоской полубесконечной тонкой пластины и обменивающейся с ней теплом. Предположим, что неограниченный поток со скоростью
и температурой Т° набегает на полубесконечную пластину, совпадающую
с плоскостью хz и имеющую температуру Тст = const.

Выделим гидродинамический и тепловой пограничные слои
с толщиной dг и dт соответственно (область 99 % изменение скорости wx и температуры T). В ядре потока и Т° постоянны.

I. Ламинарные пограничные слои (рис. 1.3).

y
wx
Tст
(T–Tст)
dг(x)
dт(x)
x
x
z

 

Рис. 1.3. Гидродинамический и тепловой ламинарные пограничные слои

на плоской пластине

 

Проанализируем уравнения неразрывности и Навье-Стокса. Задача двумерная, поскольку wz, . По экспериментальным данным известно, что в гидродинамическом пограничном слое . В ядре потока const, поэтому, согласно уравнению Бернулли , в пограничном слое то же самое .

Как известно x >> dг, поэтому

Следовательно, имеем

 

; (22)

 

. (23)

 


Записывать аналогичные уравнения для оси у не имеет смысла, так как wy может быть найдена из уравнения неразрывности (22). Используя аналогичные процедуры можно упростить и уравнение Фурье-Кирхгофа

 

. (24)

 

Система дифференциальных уравнений (22)–(24) составляет изотермическую математическую модель плоского стационарного теплового ламинарного пограничного слоя.

 

Сформулируем граничные условия


на границе с пластиной, т.е. при у = 0: при любом х скорость wx = 0 (условие прилипания). На границе и вне гидродинамического погранслоя,
т.е. при у ≥ dг(х), а также при х = 0 для любого у: wx = . Для поля температуры аналогичные рассуждения.

Итак, граничные условия:

 

wx (x, 0) = 0, x > 0; wx (x, ∞) = ; wx (0, y) = ; (25)

T (x, 0) = Tст, x > 0; T (x, ∞) = ; T (0, y) = . (26)

 

Точное решение этой задачи в виде бесконечных рядов было получено Блазиусом. Имеются более простые приближенные решения: метод интегральных соотношений (Юдаев) и теорема импульсов (Шлихтинг). А.И. Разиновым задача была решена методом сопряженного физического
и математического моделирования.
Были получены профили скоростей
wx (x, y), wy (x, y) и температур Т, а также толщины пограничных слоев
dг(x) и dт (х)

 

; (27)

 

, Pr ≥ 1; (28)

 

Pr = ν/a.

 

Коэффициент А в формуле (27) у Разинова – 5,83; Юдаева – 4,64; Блаузиуса – 4; Шлихтинга – 5,0. Примерный вид найденных зависимостей приведен на рис. 1.3.

Как известно, для газов Pr ≈ 1, капельных жидкостей Pr > 1.

Полученные результаты позволяют определить коэффициенты импульсо-и теплоотдачи. Локальные значения γ(x) и Nuг,x

 

поэтому

,

где . (29)

 

Усредненные значения и по участку длиной l

 

, , . (30)

 

ИТОГ для теплоотдачи

 

; (31)

 

, . (32)

 

В данном случае аналогия тепло- и импульсоотдачи сохраняется (исходные уравнения одинаковы, граничные условия подобны). Критерий, характеризующий гидродинамическую аналогию процесса теплоотдачи имеет вид

 

Pт-г,x = Nuт,x / Nuг,x = Pr1/3. (33)

 

Если Pr = 1, то Pт-г,x = 1, следовательно полная аналогия процессов импульсо- и теплоотдачи.

Из полученных уравнений следует

 

γ ~ , m; a ~ , l. (34)

 

Как правило, подобная качественная зависимость выполняется
не только для плоского погранслоя, но и для более сложных случаев.

II. Турбулентные пограничные слои (рис. 1.4)

 

у
х
dг dт
dт = dг
турбулентный слой
переходная область
z
внешняя область
d
пристенная область
d
- Tст
ламинарный слой
Tст

Рис. 1.4. Гидродинамический и тепловой турбулентные пограничные слои

на плоской пластине

 

Задача рассматривается в изотермической постановке, тепловые граничные условия первого рода Тст = const.

По мере удаления от кромки пластины (увеличения координаты х) происходит рост dг(х). При этом неоднородность поля скорости wx распространяется в области все более удаленные от границы раздела фаз,
что является предпосылкой возникновения турбулентности. Наконец, при Rex,кp начинается переход ламинарного режима в турбулентный. Переходная зона соответствует значениям х, рассчитанным по Rex от 3,5 × 105 ÷ 5 × 105.
На расстояниях Rex > 5 × 105 весь пограничный слой турбулизируется
,
за исключением вязкого или ламинарного подслоя толщиной d. В ядре потока скорость не меняется. Если Pr > 1 то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой толщиной d, в котором молекулярный перенос тепла преобладает над турбулентным.

Толщина же всего турбулентного теплового пограничного слоя обычно определяется из условия νт = ат, следовательно dг = dт.

Сначала рассмотрим турбулентный гидродинамический пограничный слой (рис. 1.4). Оставим в силе все приближения, сделанные для ламинарного слоя. Единственное отличие – наличие νт (у), поэтому

 

. (35)

 

Сохраним и граничные условия. Решением системы уравнений (35)
и (22) с граничными условиями (25), используя полуэмпирическую модель пристенчатой турбулентности Прандтля, можно получить характеристики турбулентного пограничного слоя. В вязком подслое, где реализуется линейный закон распределения скорости, можно пренебречь турбулентным переносом импульса, а вне его молекулярным. В пристенной области (за вычетом вязкого подслоя) обычно принимается логарифмический профиль скорости, а во внешней области – степенной закон с показателем 1/7 (рис. 1.4).

Как и в случае ламинарного пограничного слоя возможно использование осредненных по длине l коэффициентов импульсоотдачи

 

. (36)

 

Рассмотрим тепловой турбулентный пограничный слой. Уравнение энергии имеет вид

 

. (37)

 

Если Pr > 1, то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой, где молекулярный перенос тепла

 

. (38)

 

Для локального коэффициента теплоотдачи решение математической модели имеет вид

 

. (39)

 

Среднее по длине пластины значение определяется так

 

. (40)

 

Ниже представлены образование турбулентного пограничного слоя (а) и распределение локального коэффициента теплоотдачи (б) при продольном обтекании плоской полубесконечной пластины (рис. 1.5).

 

 

y
x
dт
d1,т
d1,г
δг = dт
lкр
x
ламинарный слой
переходная зона
турбулентный слой
a
dг

 

Рис. 1.5. Пограничные слои dг и dт и локальный коэффициент теплоотдачи a

на плоской пластине

В ламинарном слое (хlкр) тепловой поток реализуется только за счет теплопроводности, для качественной оценки можно использовать соотношение a ~ .

В переходной зоне общая толщина пограничного слоя увеличивается. Однако значение a при этом увеличивается, потому что толщина ламинарного подслоя уменьшается, а в образующемся турбулентном слое тепло переносится не только теплопроводностью, но и конвекцией вместе
с перемещающейся массой жидкости, т.е. более интенсивно. В результате суммарное термическое сопротивление теплоотдачи убывает.
В зоне развитого турбулентного режима коэффициент теплоотдачи вновь начинает убывать из-за возрастания общей толщины пограничного слоя a ~ .

Итак, рассмотрены гидродинамический и тепловой пограничные слои на плоской пластине. Качественный характер полученных зависимостей справедлив и для пограничных слоев, образующихся при обтекании более сложных поверхностей.

 

 



Дата добавления: 2018-05-10; просмотров: 714;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.018 сек.