На плоской пластине

Рассмотрим поток, обладающий неизменными теплофизическими характеристиками (r, m, l, c_p = const), совершающий вынужденное движение вдоль плоской полубесконечной тонкой пластины и обменивающейся с ней теплом. Предположим, что неограниченный поток со скоростью
и температурой Т° набегает на полубесконечную пластину, совпадающую
с плоскостью х – z и имеющую температуру Т_ст = const.

Выделим гидродинамический и тепловой пограничные слои
с толщиной d_г и d_т соответственно (область 99 % изменение скорости w_xи температуры T). В ядре потока и Т° постоянны.

I. Ламинарные пограничные слои (рис. 1.3).

y

w_x

T_ст

(T–T_ст)

d_г(x)

d_т(x)

x

x

z

Рис. 1.3. Гидродинамический и тепловой ламинарные пограничные слои

на плоской пластине

Проанализируем уравнения неразрывности и Навье-Стокса. Задача двумерная, поскольку w_z, . По экспериментальным данным известно, что в гидродинамическом пограничном слое . В ядре потока const, поэтому, согласно уравнению Бернулли , в пограничном слое то же самое .

Как известно x >> d_г, поэтому

Следовательно, имеем

; (22)

. (23)

Записывать аналогичные уравнения для оси у не имеет смысла, так как w_y может быть найдена из уравнения неразрывности (22). Используя аналогичные процедуры можно упростить и уравнение Фурье-Кирхгофа

. (24)

Система дифференциальных уравнений (22)–(24) составляет изотермическую математическую модель плоского стационарного теплового ламинарного пограничного слоя.

Сформулируем граничные условия

на границе с пластиной, т.е. при у = 0: при любом х скорость w_x = 0 (условие прилипания). На границе и вне гидродинамического погранслоя,
т.е. при у ≥ d_г(х), а также при х = 0 для любого у: w_x = . Для поля температуры аналогичные рассуждения.

Итак, граничные условия:

w_x (x, 0) = 0, x > 0; w_x (x, ∞) = ; w_x (0, y) = ; (25)

T (x, 0) = T_ст, x > 0; T (x, ∞) = ; T (0, y) = . (26)

Точное решение этой задачи в виде бесконечных рядов было получено Блазиусом. Имеются более простые приближенные решения: метод интегральных соотношений (Юдаев) и теорема импульсов (Шлихтинг). А.И. Разиновым задача была решена методом сопряженного физического
и математического моделирования. Были получены профили скоростей
w_x (x, y), w_y (x, y) и температур Т, а также толщины пограничных слоев
d_г(x) и d_т (х)

; (27)

, Pr ≥ 1; (28)

Pr = ν/a.

Коэффициент А в формуле (27) у Разинова – 5,83; Юдаева – 4,64; Блаузиуса – 4; Шлихтинга – 5,0. Примерный вид найденных зависимостей приведен на рис. 1.3.

Как известно, для газов Pr ≈ 1, капельных жидкостей Pr > 1.

Полученные результаты позволяют определить коэффициенты импульсо-и теплоотдачи. Локальные значения γ(x) и Nu_г,x

поэтому

где . (29)

Усредненные значения и по участку длиной l

, , . (30)

ИТОГ для теплоотдачи

; (31)

, . (32)

В данном случае аналогия тепло- и импульсоотдачи сохраняется (исходные уравнения одинаковы, граничные условия подобны). Критерий, характеризующий гидродинамическую аналогию процесса теплоотдачи имеет вид

P_т-г,x= Nu_т,_x / Nu_г,_x = Pr^1/3. (33)

Если Pr = 1, то P_т-г,x = 1, следовательно полная аналогия процессов импульсо- и теплоотдачи.

Из полученных уравнений следует

γ ~ , m; a ~ , l. (34)

Как правило, подобная качественная зависимость выполняется
не только для плоского погранслоя, но и для более сложных случаев.

II. Турбулентные пограничные слои (рис. 1.4)

у

х

d_гd_т

d_т = d_г

турбулентный слой

переходная область

z

внешняя область

d_1т

пристенная область

d_1г

- T_ст

ламинарный слой

T_ст

Рис. 1.4. Гидродинамический и тепловой турбулентные пограничные слои

на плоской пластине

Задача рассматривается в изотермической постановке, тепловые граничные условия первого рода Т_ст = const.

По мере удаления от кромки пластины (увеличения координаты х) происходит рост d_г(х). При этом неоднородность поля скорости w_x распространяется в области все более удаленные от границы раздела фаз,
что является предпосылкой возникновения турбулентности. Наконец, при Re_x,_кp начинается переход ламинарного режима в турбулентный. Переходная зона соответствует значениям х, рассчитанным по Re_x от 3,5 × 10⁵ ÷ 5 × 10⁵.
На расстояниях Re_x > 5 × 10⁵ весь пограничный слой турбулизируется,
за исключением вязкого или ламинарного подслоя толщиной d_1г. В ядре потока скорость не меняется. Если Pr > 1 то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой толщиной d_1т, в котором молекулярный перенос тепла преобладает над турбулентным.

Толщина же всего турбулентного теплового пограничного слоя обычно определяется из условия ν_т = а_т, следовательно d_г = d_т.

Сначала рассмотрим турбулентный гидродинамический пограничный слой (рис. 1.4). Оставим в силе все приближения, сделанные для ламинарного слоя. Единственное отличие – наличие ν_т (у), поэтому

. (35)

Сохраним и граничные условия. Решением системы уравнений (35)
и (22) с граничными условиями (25), используя полуэмпирическую модель пристенчатой турбулентности Прандтля, можно получить характеристики турбулентного пограничного слоя. В вязком подслое, где реализуется линейный закон распределения скорости, можно пренебречь турбулентным переносом импульса, а вне его молекулярным. В пристенной области (за вычетом вязкого подслоя) обычно принимается логарифмический профиль скорости, а во внешней области – степенной закон с показателем 1/7 (рис. 1.4).

Как и в случае ламинарного пограничного слоя возможно использование осредненных по длине l коэффициентов импульсоотдачи

. (36)

Рассмотрим тепловой турбулентный пограничный слой. Уравнение энергии имеет вид

. (37)

Если Pr > 1, то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой, где молекулярный перенос тепла

. (38)

Для локального коэффициента теплоотдачи решение математической модели имеет вид

. (39)

Среднее по длине пластины значение определяется так

. (40)

Ниже представлены образование турбулентного пограничного слоя (а) и распределение локального коэффициента теплоотдачи (б) при продольном обтекании плоской полубесконечной пластины (рис. 1.5).

y

x

d_т

d_1,т

d_1,г

δ_г= d_т

l_к_р

x

ламинарный слой

переходная зона

турбулентный слой

a

d_г

Рис. 1.5. Пограничные слои d_г и d_ти локальный коэффициент теплоотдачи a

на плоской пластине

В ламинарном слое (х ≤ l_кр) тепловой поток реализуется только за счет теплопроводности, для качественной оценки можно использовать соотношение a ~ .

В переходной зоне общая толщина пограничного слоя увеличивается. Однако значение a при этом увеличивается, потому что толщина ламинарного подслоя уменьшается, а в образующемся турбулентном слое тепло переносится не только теплопроводностью, но и конвекцией вместе
с перемещающейся массой жидкости, т.е. более интенсивно. В результате суммарное термическое сопротивление теплоотдачи убывает. В зоне развитого турбулентного режима коэффициент теплоотдачи вновь начинает убывать из-за возрастания общей толщины пограничного слоя a ~ .

Итак, рассмотрены гидродинамический и тепловой пограничные слои на плоской пластине. Качественный характер полученных зависимостей справедлив и для пограничных слоев, образующихся при обтекании более сложных поверхностей.