Кондуктивный теплообмен в плоской стенке

Рассмотрим теплообмен в неподвижной плоской стенке
из однородного материала, теплофизические свойства которого постоянны
(с_p, l, r = const) (рис. 1.1).

y

T₁

T₂

x

d

λ

Рис. 1.1. Распределение температуры в плоской стенке

Общее уравнение нестационарной теплопроводности Фурье имеет вид

(1)

Процесс теплообмена стационарный, тогда . Считаем,
что высота и длина гораздо больше толщины стенки d, следовательно, теплообмен по этим направлениям отсутствует, тогда температура изменяется лишь вдоль одной координаты х, отсюда имеем

Поскольку , имеем

(2)

Очевидным решением этого уравнения является

откуда

(3)

Граничные условия:

при ;

при

Находим и , , тогда

. (4)

Распределение T по толщине d

. (5)

Из полученного уравнения (5) видно, что в плоской стенке распределение Т является прямолинейным.

Поток тепла за счет теплопроводности определяется по закону Фурье

; (6)

. (7)

Здесь характеризует тепловую проводимость стенки, а – термическое сопротивление стенки.

Для многослойной стенки термическое сопротивление отдельных стенок необходимо суммировать

. (8)

Определим количество теплоты, передаваемое за время t через площадь F

, (9)

тогда расход тепла определяется как

. (10)

Здесь F – поверхность пластины; t – время.

Однако, приведенные расчетные формулы не всегда достаточны
для практического использования. Как, например, учесть термическое сопротивление стенки при теплопередаче? Большей частью бывает,
что температуры поверхностей Т₁ и Т₂ заранее неизвестны, но зато определены температуры Т_ср1 и Т_ср2 обеих сред, омывающих стенку,
и, кроме того, соответствующие коэффициенты теплоотдачи a₁ и a₂. Тогда для случая теплопередачи расход тепла запишется