Предел функции в точке и на бесконечности





Определение 2.1. Окрестностью точки х0 называется любой интервал (a,b) , содержащий эту точку.

e-окрестностью точки х0 называется интервал (х0–e; х0 +e)

 
 

 

 


х0 +e
Точки х, принадлежащие e - окрестности точки х0 , удовлетворяют условию |xx0| <e . Для каждой окрестности (a,b) точки х0 всегда можно построить e-окрестность, лежащую внутри окрестности (a,b):

 


Поэтому в дальнейшем, говоря об окрестности точки, будем, чаще всего, подразумевать ее e-окрестность. Будем обозначать окрестность точки х0 символом или U(x0).

Определение 2.2. Точка х0 называется предельной точкой множества D, если в любой ее окрестности содержится бесконечное число точек множества D.

Например, для множества D = [–1;3)È(3;5] точки х = 3, х = 2, х = 5 – предельные, а вот точка х = 6 предельной не является.

Определение 2.3. Пусть х0 – предельная точка множества D и у = f (x) функция, определенная на множества D. Число А называется пределом функции в точке х0 (при х, стремящемся к х0) , если для любой окрестности U(A) точки А существует окрестность U(x0) точки х0 такая, что для всех хÎ U(x0) выполняется условие f (x) Î U(A). Обозначается

.

Если воспользоваться определением e-окрестности , то определение 2.3 можно сформулировать «на языке e-d»

Определение 2.4. Число А называется пределом функции у = f (x) в точке х0, если " e > 0 $ d > 0 такое, что "х: |xx0| < d Þ | f (x) – A|<e.

Определение 2.5. Число А называется пределом функции у = f (x) при х стремящемся к бесконечности, если " e > 0 $ N > 0 такое, что "х: |x|>N выполняется | f (x) – A| < e. Обозначается .

В частности, если f = f (n) – функции натурального аргумента, определяющая последовательность ап, то из определения 2.5 получим определение предела последовательности:

Определение 2.6 Число А называется пределом последовательности {ап}, если " e > 0 $ такой номер N , что начиная с этого номера все члены последовательности удовлетворяют условию |ап – A| < e. Обозначается .

В этом случае говорят, что последовательность {ап} сходится к числу А.

В приведенных определениях число А подразумевается конечным. Если же А = ¥, то в этом случае говорят, что функция f(x) стремится к бесконечности и называют ее бесконечно большой в соответствующей точке. Таким образом

Определение 2.7. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке х0, если " М > 0 $ d > 0 такое, что "х: |xx0| < d Þ | f (x)| > M.

Задание: Самостоятельно сформулировать определение бесконечно большой функции при х ® ¥, х ® +¥, х ® – ¥.

 

 

2. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции в точке.

 

Из определений 2.1-2.7 следует что:

1) f(x) не обязательно определена в точке х0.

2) величина d (или N в определениях 2.5. и 2.6), вообще говоря, зависит от e, т.е. d = d(e).

Кроме того, не регламентируется характер приближения х к х0, т.е. принимая значения, сколь угодно близкие к х0, х может быть как больше х0, так и меньше х0. Рассмотрим пример.

Функция определена на всей числовой прямой, точка х0 = 1 – предельная точка области определения этой функции. Найдем предел этой функции в точке х0 = 1. Рассмотрим график этой функции (рис.5). Стрелка на графике означает, что точка (1, 2) не лежит на соответствующей части графика функции.

По графику видно, что «претендентами на звание» являются числа А1 = 2 и А2 = 1. Но согласно определению предела, ни одно из этих чисел не является пределом данной функции в рассмотренной точке. Действительно, какую бы окрестность точки А1 = 2 мы не взяли, невозможно указать окрестность точки х0 = 1, для всех значений х из которой значения функции попали бы в окрестность точки А1 (рис.6а):

f(x1) ÏU(A1), f(x2) Î U(A1).

То же касается и точки А2(рис.6б), на сей раз f(x1) ÎU(A2), а f(x2) Ï U(A2).

 
 

 


Но если наложить ограничения на характер изменения переменной х, например, потребовать, чтобы х ® 1, но при этом оставалось меньше 1, то = 2. Если же при х ® 1 потребовать х > 1, то = 1. Такие пределы называются односторонними.

Определение 2.8. Число А называется правосторонним пределом (пределом справа) функции у = f (x) в точке х0 , если " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, xx0 < d Þ | f (x) – A| < e. Обозначается

.

Таким образом, правосторонний предел равен

Определение 2.9 Число А называется левосторонним пределом (пределом слева) функции у = f (x) в точке х0 , если " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, x0x < d Þ | f (x) – A| < e. Обозначается .

Итак, предел слева равен .

Справедлива следующая

Теорема 2.1. (Критерий существования предела)

Для того, чтобы функция f(x) в точке х0 имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные односторонние пределы f(x0+0) и f(x0–0) и эти пределы были равны между собой:

f(x0+0) = f(x0–0).

 

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

 

Если же f(x0+0) или f(x0–0), или оба эти предела бесконечны, то как мы уже говорили, функция является бесконечно большой (справа или слева) в точке х0.

Например, для функций, график которой изображен на рис.7а, имеем f(x0+0) = f(x0 –0) = +¥, значит функция бесконечно большая в точке х0; для функции, график которой представлен на рис.7б, f(x0+0) = +¥, f(x0–0) = –¥; функция с графиком 7в) имеет f(x0–0) = 1, f(x0+0) = +¥, значит функция бесконечно большая справа в точке х0.

 

 

 


Заметим также, что на графике 7в) f (х) ® + ¥ при х® + ¥ и при х® – ¥, тогда как на графике 7а) f (х) ® 0 при х® ± ¥.

 

Определение 2.10. Функция у = a(х) называется бесконечно малой в точке х0 (или при х® х0), если " e >0 $ d > 0 такое, что " х , | xx0| < d выполняется неравенство |a(x)|< e.

 

Таким образом, бесконечно малая в точке х0 функция – это функция, предел которой в этой точке равен нулю.

Например, функция бесконечно малая в точке х =3, а функция бесконечно малая при х® ± ¥.

 

Теорема 2.2. (свойства бесконечно малых)

Если a(х) и b(х) – бесконечно малые в точке х0, и(х) – ограниченная в окрестности этой точки функция, а с – произвольная константа, то функции a(х) + b(х) , a(х) – b(х), a(х).b(х), с.a(х) , и(х).a(х) есть также бесконечно малые в точке х0 функции, а – бесконечно большая в точке х0 функция.

Доказательство: Если a(х) и b(х) – бесконечно малые в точке х0, то "e>0

$ d1>0 такое, что " х , | xx0| < d1 выполняется неравенство |a(x)|< ,

и $ d2>0 такое, что " х , | xx0| < d2 выполняется неравенство |b(x)|< .

Тогда, если взять d = min(d1,d2), то "e>0 из неравенства |xx0| < d будет следовать неравенство

| a(х) ± b(х)| < |a(x)| +|b(x)|< + = e,

а это и означает, что функции a(х) + b(х) и a(х) – b(х) – бесконечно малые в точке х0.

Остальные свойства докажите самостоятельно или разберите доказательства, предложенные в учебниках:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1.



2. Шипачёв В.Н. Высшая математика .

 

Заметим, что в теореме 2.2 ничего не сказано об отношении двух бесконечно малых функций, поскольку в результате может быть получена как бесконечно малая функция, так и функция, имеющая не равный нулю предел, так и бесконечно большая функция. Поэтому отношение двух бесконечно малых функций принято называть неопределенностью и обозначать .

Теорема 2.3(Свойства бесконечно больших)

Если функции f(x) и g(x) – бесконечно большие в точке х0, и(х) – ограниченная в окрестности этой точки функция, а с – произвольная константа, то функции f(x).g(x), сf(x), и(х).f(x) – бесконечно большие в точке х0 функции, а – бесконечно малая в этой точке функция.

Доказательство этого утверждения так же можно посмотреть в перечисленных выше учебниках.

Если функции f(x) и g(x)бесконечно большие, то относительно функций f(x) ± g(x) нельзя однозначно сказать, какими они являются. Все зависит от скорости роста этих функций, и их знака. Например, сумма положительных бесконечно больших, или сумма отрицательных бесконечно больших функций есть бесконечно большая (того же знака) функция, а разность бесконечно больших положительных функций может оказаться и бесконечно большой, и бесконечно малой, и имеющей конечный предел в данной точке функцией. Аналогичное замечание можно сделать и относительно функции . Поэтому алгебраическую сумму функций f(x) ± g(x) и частное бесконечно больших функций называют неопределенностью и обозначают и соответственно.

 

4. Теоремы о пределах

Теорема 2.4.

Число А является пределом функции f(х) в точке х0 тогда и только тогда, когда в окрестности точки х0 функция представима в виде
f(x) = А + a(х),
где a(х) – бесконечно малая в точке х0 функция.

Доказательство:

1) (необходимость) Пусть . Значит, "e >0 $ d >0 такое, что "х, таких что |xx0| < d, выполняется неравенство | f (x) – A| < e. Обозначим разность f (x) – A = a(х). Тогда " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |xx0| < dвыполняется условие | a(х)| < e , следовательно, функция a(х) – бесконечно малая в точке х0.

2)(достаточность) Пусть в окрестности точки х0 имеет место f(x) = А + a(х), где a(х) бесконечно малая. Тогда для a(х) = f (x) – A имеем: " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |xx0| < d Þ | a(х)| = | f (x) – A| < e. Последнее, по определению предела, означает, что . ЧТД.

Теорема 2.5.(Свойства пределов)

Пусть существуют конечные пределы , , и С – произвольная константа. Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , если В ¹ 0;

 

Доказательство:

1) Пусть у(х) = С – постоянная функция. Тогда, по определению предела , " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |xx0| < d Þ | у(х) –С | = | СС| < e, значит, . ЧТД.

2) Пусть у(х) = С.f(x) . Так как , то f(x) = A + a(x) , где a(x) бесконечно малая (теорема 2.4). Умножив обе части этого равенства на С, получим

С.f(x) = СA + С.a(x),

но С.a(x) – бесконечно малая (см. теорему 2.2) . Значит, функция С.f(x) представлена в виде суммы числа СА и бесконечно малой С.a(x), следовательно (по теореме 2.4), число СА есть предел этой функции, т.е.

. ЧТД.

3) Так как , , то f(x) =A+a1(x), g(x) = B +a2(x), где a1(x), a2(x) – бесконечно малые. Тогда

f(x) ± g(x) = (A + a1(x)) ± (B + a2(x)) = (А ± В) + (a1(x) ± a2(x)) .

А так как a1(x) ± a2(x) – бесконечно малые, то по теореме 2.4, числа (А ± В) есть пределы функций f(x) ± g(x) соответственно. ЧТД.

 

4) Аналогично, если , , то

f(x) = A + a1(x), g(x) = B + a2(x),

где a1(x), a2(x) – бесконечно малые. Тогда

f(x) .g(x) = (A + a1(x)) .( B + a2(x)) = А.В + А.a2(x) + В.a1(x)+ a1(x) .a2(x),

но, по теореме 2.2, А.a2(x) , В.a1(x), a1(x) .a2(x) – бесконечно малые, значит, функция f(x) .g(x) представлена в виде суммы числа АВ и бесконечно малой, значит число АВ есть предел данной функции в точке х0. Таким образом

, ЧТД.

Остальные свойства докажите самостоятельно или разберите доказательства по указанным выше учебникам.

 

Перечисленные свойства позволяют вычисление пределов функций свести к вычислению значений функции в предельной точке. Действительно, пользуясь свойствами, получим, например,

Легко убедиться в том, что значение данной функции в точке х =1 также равно 8.

Рассмотрим также пример применения свойств бесконечно малых и бесконечно больших функций:

= .

Здесь вычисление предела начали с преобразования функции – каждое слагаемое числителя разделили на знаменатель. Заметим, что непосредственная подстановка предельного значения переменной х привела бы к выражению вида , которое называется неопределенностью. Неопределенности различного вида, возникающие при вычислении предела, устраняются (говорят: раскрываются) в результате преобразования функции. Рассмотрим еще один пример, в котором раскрывается неопределенность вида :

.

 

Вычисление предела функции можно проводить по следующей схеме

 


В практических занятиях будут даны некоторые рекомендации по раскрытию упомянутых неопределенностей.

Рассмотрим без доказательства теоремы, позволяющие осуществлять предельный переход в неравенствах.

Теорема 2.6

Если существуют конечные пределы , и f(x) £ g(x) в окрестности точки х0, то £ .

Теорема 2.7.

Если в окрестности точки х0 выполняется условие f(x) £ j (х) £ g(x) и существуют = А и = А, то существует = А.

Теорема 2.8.

Если функция f(x) имеет конечный предел в точке х0 , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

В частности, эти теоремы используются для доказательства двух важных в математическом анализе формул, которые носят название замечательных пределов.






Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1084; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.029 сек.