Определение и свойства ОИ.
Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на п произвольных частичных отрезков точками
а = х0 <x1 < x2 < ... <xn = b.
Эти точки называются точками разбиения. Обозначим длину отрезка [xi–1, xi] разбиения символом Dхi , т.е. Dхi = xi – xi–1, а наибольшую из этих длин обозначим lп ,т.е. lп = . На каждом из частичных отрезков [xi–1, xi] возьмем произвольную точку xi и вычислим значение функции в этой точке f(xi). Составим сумму , которую называют интегральной суммой для функции f(х), соответствующей данному разбиению и данному выбору точек xi. Если при п ® ¥ lп ® 0, то соответствующую последовательность разбиений называют нормальной.
Определение 19.1. Если для всякой нормальной последовательности разбиений существует конечный предел интегральной суммы при lп ® 0, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек xi, то это предел называют определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [a, b] и обозначают .
Здесь f(х) – подынтегральная функция, f(х)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования, a, b – пределы интегрирования: a – нижний, b– верхний.
Таким образом, по определению . В этом случае функция f(х) называется интегрируемой на отрезке [a, b].
Из определения следует, что определенный интеграл есть число. это число зависит только от вида функции f(х) и от чисел a и b, и не зависит от переменной интегрирования, т.е. = = =... .
Учитывая рассмотренные ранее задачи о массе и о площади криволинейной трапеции, можно дать следующую физическую и геометрическую интерпретацию понятию определенного интеграла:
с физической точки зрения интеграл численно равен массе прямолинейного тонкого неоднородного стержня длины l = b – a, с переменной линейной плотностью r = f(x), f(x) ³ 0, где х – расстояние от точки стержня до его левого конца;
с геометрический точки зрения интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f(x), f(x) ³ 0, прямыми х = а и х = b и отрезком [a, b] оси ОХ .
Мы назвали функцию интегрируемой на отрезке [a, b], если для нее существует определенный интеграл на этом отрезке. Рассмотрим условия интегрируемости функции.
Теорема 19.1.(необходимое условие интегрируемости)
Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.
Заметим, что обратное утверждение не верно, например, функция Дирихле
ограничена на любом отрезке [a, b], но не интегрируема на нем, т.к. предел интегральной суммы зависит от выбора точек xi.
Теорема 19.2.(достаточные условия интегрируемости)
1) Если функция непрерывна на [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
2) Если функция ограничена на [a, b] и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва (кусочно-непрерывная функция), то она интегрируема на этом отрезке.
3) Монотонная ограниченная на [a, b] функция интегрируема на этом отрезке.
Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 771;