Математические модели при автоматизированном проектировании технологических процессов

Под математической моделью технологического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производственных условиях. При построении математических моделей используют различные математические средства описания объекта - теорию множеств, теорию графов, теорию вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и др.

Описание математических соотношений на уровнях структурных, логических и количественных свойств принимает конкретные формы в условиях определенного объекта. Например, множество параметров влияющих на выбор скорости резания при различных методах обработки, можно представить в виде

М_v= {T_и, m, t, s, d, B, c_v, k_v, x_v, y_v, z_v, r_v}, (17.1)

где Т_и - стойкость инструмента, мин; m - показатель относительной стойкости инструмента; t - глубина резания, мм; s - подача, мм/об (мм/зуб мм/дв.ход, мм/мин); d - диаметр обрабатываемой поверхности или диаметр инструмента; В - ширина обрабатываемой поверхности, мм; с_v - коэффициент, характеризующий условия обработки; k_v - поправочный коэффициент на скорость резания; х_v, y_v, z_v,r_v- показатели степени.

Логическое соотношение между приведенными выше параметрами и скоростью резания v имеют вид

v = Т_и Ù m Ù с_v Ù k_v [(t Ù x_v) Ú (s Ù y_v) Ú (d Ù z) Ú (B Ù r_v)] (17.2)

причем Т_и , m, с_v, k_v всегда истинны, а истинные значения других переменных зависят от метода обработки резанием.

Формулы количественных соотношений между параметрами с учетом истинности их логических значений имеют вид:

при наружном точении

(17.3)

при сверлении -

(17.4)

и т.д. Следовательно, формулы представляют математические модели расчета скорости резания на различных уровнях абстрагирования.

К математическим моделям предъявляют требования высокой точности, экономичности и универсальности. Экономичность математических моделей определяется затратами машинного времени (работы ЭВМ). Степень универсальности математических моделей определяется возможностью их использования для анализа большего числа технологических процессов и их элементов. Требования к точности, экономичности и степени универсальности математических моделей противоречивы. Поэтому необходимо иметь удачное компромиссное решение.

Рассмотрим только одно из направлений теории ПЭ по поиску математической модели изучаемого объекта. Пусть результат измерения выходной величины какого-либо объекта в заданной области может быть описан выражением -

у(х)= В^Тf (х) + x(х), х, х Îc, (17.5)

где х = (х₁, х₂, ..., х₁)^Т- вектор входных (контролируемых) переменных;

В = (b₁, b₂,..., b_m)^Т - вектор неизвестных параметров;

f(х) = (f₁(х), f₂(x),...,f_m(x))^Т - вектор известных (регрессионных) функций;

x (х) - помеха (например, ошибка измерения);

c - область измерения входных переменных х, в которой справедлива модель.

Пусть измерения выходной величины объекта могут быть проведены

на дискретном множестве точек {x₁} ( ) по r_i раз в точке x_i.

Результаты измерений при этом могут быть записаны в виде

y_ik = y_k (x_i ) = В^Тf (х_i ) + x_k (x_i ) = ^‘В^Т f (х_i) + x_ik , (17.6)

x_i Î X,

где y_ik и x_ik - соответственно значения величины y(x) и помехи x(х) при k-м изменении в точке х_i ( ).

В теории ПЭ совокупность величин

y₁₁, y₁₂, ..., y_ir1; ...; y_n1, y_n2, ..., y_nrn

r₁; ...; r_n (17.7)

x₁; ..., x_n

обычно называют экспериментом Э_N. Здесь N - общее число изменений

( ) совокупность величин

p₁, p₂, ... , p_n, , (17.8)

x₁, x₂, ... , x_n

называют планом e_N эксперимента Э_N. (Иногда план вида (17.8) называют нормированным планом эксперимента.) Совокупность точек {x₁} ( ) называется спектром плана e_N. И, наконец, часть области Х, в которой могут размещаться измерения, называется областью планирования Х. В частном случае область Х может совпадать с c. Предположим, что целью проведения эксперимента является нахождение наилучших в статическом смысле (т.е. имеющих минимальные дисперсии и несмещенных) линейных оценок неизвестных параметров Впо результатам измерений выходной величины (по данным эксперимента). Статистическая точность оценок (т.е. статическая близость их к истинным значениям, обычно и определяющая понятие «наилучшие оценки»), которую можно получить в результате проведения эксперимента Э_N по плану e_N , описывается их дисперсионной (ковариационной) матрицей

, (17.9)

где - вектор несмещенных оценок параметров B.

Задача проведения и анализа результатов эксперимента естественным образом распадается на две самостоятельные задачи.

А. Выбор наилучших оценок для параметров В, имеющих, например, наилучшую дисперсионную матрицу при заданном плане эксперимента e_N, т.е. выбор способа обработки результатов эксперимента Э_N. (Выбор способа обработки (оценивания) определяет конкретный вид матрицы .)

Б. Выбор оптимального в некотором смысле плана эксперимента e_N при заданном способе обработки его результатов. Предметом теории ПЭ в основном является задача Б. Выбор плана эксперимента, соответствующего наилучшей дисперсионной матрице, предусматривает сравнение дисперсионных матриц различных планов. Обычно при этом сравниваются величины некоторого выпуклого функционала (скалярные меры) от дисперсионной матрицы оценок y[D(.)]. Вид функционала y[.] определяется выбранным критерием оптимальности плана. В настоящее время в литературе существует большое число различных критериев оптимальности планов и соответствующих этим критериям функционалов. Нами в дальнейшем будут использоваться следующие функционалы y[D] (здесь и ниже аргумент для краткости опущен).

1. Определитель дисперсионной матрицы: y[D] = |D|.

Планы, минимизирующие этот определитель, принято называть D - оптимальными. При этом мимизируется обобщённая дисперсия (эллипсоид рассеяния оценок).

2. Сумма диагональных элементов дисперсионной матрицы:

y[D] = Sp[D]. Планы минимизирующие Sp[D], называются А- оптимальными. При этом минимизируется средняя дисперсия оценок.

3. Дисперсия оценки линейной комбинации q^ТВ параметров В: y[D] = q^ТDq, где q = (q₁, q₂, ..., q_m)^T - заданный вектор. Важным частным случаем этого функционала является случай, когда q = F(x₀). При этом величина d(x₀) =f ^T(x₀) Df (x₀) есть дисперсия оценки так называемой поверхности отклика В^Т f(x) в точке х₀. В общем случае точка х₀Îc может не принадлежать области ХÌc.

4. Максимальное в области Х₀ значение дисперсии оценки поверхности отклика: sup d(x). Планы, минимизирующие указанную величину, xÎc₀ называются минимаксными. Если Х₀ совпадает с Х, то соответствующий оптимальный план принято называть G - оптимальным.

Обычно различают три случая соотношения областей Х₀ и Х:

область Х₀ совпадает с областью Х;

область Х₀ является частью области Х;

область Х₀ не имеет общих точек с областью Х (задача экстраполяции) Но во всех трех случаях должно выполнятся Х₀ Ìc и Х Ì c (c - область, в которой справедлива модель (17.5). При традиционной постановке задачи ПЭ считают, что помехи x_ik в (17.6) удовлетворяют следующим предположениям:

Е x_ik (Х_i ) = 0; Е x_k (Х_i ) x_s (X_j) = s² (х_i) при i=j и k=s, (17.10)

0 в остальных случаях;

Функцию l(х), обратную функции s²(х); где l(х)= s ^-2(х), принято называть функцией эффективности. Таким образом, из (17.10) видно, что в традиционном ПЭ результаты всех измерений у_i считается статистически независимыми (точнее говоря, некоррелированными) независимо от того, есть ли среди точек х_i совпадающие или нет.

Решением задачи А для модели (17.6), (17.10) являются оценки метода наименьших квадратов(МНК) В^о (Э_N) (МНК-оценки). Точность МНК- оценок характеризуется дисперсионной матрицей

D(B^o(Э_N))= D (Э⁰_N) = N^-1D(e_N),

где D(e_N)= [S p_i l(x_i) f(x_i) f ^Т (х_i )]^-1 (17.11)

Выражение (17.11) показывает, что элементы матрицы D(Э⁰_N) зависят от расположения точек х_i и частоты повторения в них измерений р_i (т.е. от плана эксперимента) и не зависит от результатов измерений выходной величины в этих точках. Это означает, что, во-первых, здесь можно поставить задачу выбора наилучшего (оптимального) в некотором смысле плана эксперимента и, во-вторых, план эксперимента можно выбирать априори.

Обычно под оптимальным планом в ПЭ понимается план e*_N1 для которого выполняем условие

y[D(e*_N)] = inf y[D(e_N)] (17.12)

где минимум (нижняя грань) берется по множеству всех допустимых планов. В общем случае поиск плана e*_N, удовлетворяющего (17.12) представляет громоздкую экстремальную задачу. На практике различают три более простых случая.

а) Поиск оптимального плана при заданном числе измерений N. Область поиска оптимального плана ограничивается множеством всех планов с числом измерений, равным N.

б) Поиск оптимального плана при заданной точности определения оценок исходных параметров. ПЭ в этом случае заключается в поиске минимума y[D(e_N)] по плану e_x и числу измерений N при заданном y_0. Практически задача сводится к последовательному поиску минимумов (17.12), который продолжается до тех пор, пока не будет найден план e_N+1 для которого

y[D(e_N)] > y₀ > y[D(e_N+1)] (17.13)

При этом эксперимент проводится по плану e_N+1.

в) Наиболее сильные результаты удаётся получить, переходя к понятию непрерывного плана e путём устремления N к бесконечности. Множества дискретных планов тогда будут подмножествами непрерывных планов e соответствующими таким p_i, для которых r_i= p_iN - целые числа. Одно из важнейших свойств непрерывного плана, непосредственно следующие из его определения, заключается в том, что величина inf y[D(e)] не зависит от N. Поэтому планирование в этом случае сводится к отысканию плана e^*, минимизирующего y[D] в классе всех допустимых планов e.

y[D(e^*)] = y[D(e)] (17.14)

и последующему вычислению числа измерений N (округлению непрерывного плана), исходя из стоимости измерений и точности оценивания. Матрица непрерывного плана М(e) обладает рядом полезных свойств. Например, для любого плана e матрица М(e) может быть представлена в виде

М(e)= ò_х М(х) р(х) d(x) = å p_i М(х_i), (17.15)

где М(х) = l(х) f(x) f^Т(х) - информационная матрица плана, сосредоточенного в единственной точке х (здесь n < m(m+1)/ 2+1). Это свойство дает возможность рассматривать только планы с дискретным спектром.

Пример планирования эксперимента в резании материалов и обработки экспериментальных данных с получением математической модели приведен в работе [29].

Глава 18