ТЕОРЕМА О СОВМЕСТИМОСТИ (СЛАУ)




 

В общем виде система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn записывается так:

(1)

Кратко СЛАУ (1) может быть записана так:

(2)

или

где

 

A= , (3)

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если присоединить к матрице А столбец свободных членов, то получится матрица , которая называется расширенной матрицей СЛАУ (1):

A= (4)

 

Из определения матрицы A СЛАУ (1) и расширенной матрицы ясно, что их ранги и либо равны между собой, либо ранг на единицу больше, чем . Вопрос о совместности СЛАУ (1) решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

ТЕОРЕМА 1. СЛАУ (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы A, то есть когда

ПРИМЕР. Исследовать на совместимость следующую СЛАУ:

Составим матрицу данной системы и вычислим ее ранг:

поскольку то .

Далее , составим расширенную матрицу системы

Так как а окаймляющий его минор

то

Итак, то есть данная система совместна.

СЛЕДСТВИЕ 1. Если СЛАУ (1) совместна и ранг матрицы A системы (1) равен числу неизвестных п, то система имеет единственное решение.

СЛЕДСТВИЕ 2.Если система (1) совместна и ранг матрицы меньше числа неизвестных n, то система имеет бесчисленное множество решений.

ТЕОРЕМА 2.Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам

где

,

 

 


.

.

4. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СЛАУ ИЗ m УРАВНЕНИЙ

С n НЕИЗВЕСТНЫМИ

Пусть дана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (1). Пусть ranqA= ranq , то есть система совместна. Не ограничиваясь общностью, будем считать, что базисный минор располагается в первых строках и столбцах матрицы A. Отбросив последние m-r уравнений системы (1), запишем укороченную систему

(2)

которая эквивалентна исходной.

Назовем неизвестные x1 ,x2 , ..., xr базисными, а xr+1 , ..., xn- свободными. Перенесем слагаемыe, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнения (2). В результате, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно базисных неизвестных

(3)

которая для каждого набора значений свободных неизвестных xr+1= c1, xr+2= c2, ..., xn=cn-r. имеет единственное решение: x1= f1,(c1, c2 , ..., cn-r), x2= f2,(c1, c2 , ..., cn-r), ..., xr= fr,(c1, c2 , ..., cn-r). Решение системы (3) можно определить либо по методу Крамера, либо методом Гаусса.

Общее решение СЛАУ можно записать в виде матрицы-столбца следующим образом:

(4)

 






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1591; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.025 сек.