Функция одной переменной

Функции одной переменной.

Содержание лекции: Введение в математический анализ. Функция одной переменной. Свойства функции. Важнейшие классы функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Введение

В математике основополагающими понятиями являются понятие множества, элемента множества. Математический анализ имеет дело, в основном, с числовыми множествами.

В дальнейшем будем использовать следующую символику:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

С – множество комплексных чисел;

Например, символьная запись "хÎN $ yÎN : (y > x Ú y < x) читается «для любого натурального числа х найдется натуральное число у такое, что либо y > x , либо y < x ».

Как известно, каждому действительному числу ставится в соответствие единственная точка на числовой прямой. Поэтому в дальнейшем договоримся отождествлять термины «действительное число» и «точка» числовой прямой. Для числовых промежутков будем использовать следующие обозначения:

[a; b] или a £ x £ b – замкнутый промежуток или отрезок с началом в точке а и концом в точке b;

(a; b) или a < x < b – открытый промежуток или интервал;

(a; b] или a < x £ b,

[a; b) или a £ x < b

– полуоткрытые промежутки или полуинтервалы;

[a; +¥) или x ³ a , (–¥; b] или x £ b – лучи;

(a ; +¥) или x > a , (–¥ ; b) или x < b – открытые лучи;

(–¥ ; +¥) или –¥ < х < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

В науке и практике приходится иметь дело с разного рода величинами. Одни из них в конкретных условиях остаются неизменными (постоянными), другие – меняются (переменные). Например, объем аудитории, банки – постоянны, а объем воздушного шарика – переменный.

В математическом анализе нас будет интересовать только численное выражение той или иной величины, а не ее природа, т.е. будем рассматривать абстрактные величины. Поэтому, постоянной величиной мы будем называть ту величину, которая принимает фиксированное, конкретное (пусть даже неизвестное) значение. Обозначать это будем: х – const. Чаще всего постоянные обозначают начальными буквами латинского алфавита: a, b, c, ... или греческими a, b, e, l, ... .

Переменной величиной считаем ту, которая может принимать произвольные числовые значения из некоторого множества чисел. Обозначают переменные чаще всего буквами конца латинского алфавита: х, у, z, t,... . Множество, из которого переменная величина принимает значения, называют областью определения этой переменной и пишут: xÎD.

Функция одной переменной

Наряду с понятием множества и элемента множества, к основным понятиям математики относят и понятие соответствия. Определенный вид соответствий носит название функции.

Пусть заданы множество Х с элементами х и множество У, состоящее из элементов у (множества Х и У – не пустые, элементы их могут быть любой природы).

Определение 1.1Если каждому элементу хÎХ по некоторому закону (правилу) f поставлен в соответствие единственный элемент уÎ У, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f (x), хÎХ или отображение f : Х → У множества Х в множество У.

При этом принята терминология:

х – независимое переменное, или аргумент,

Х – область определения функции, а каждый элемент хÎХ – значение аргумента,

у – зависимое переменное, или функция от аргумента х,

У – область значений функции, а каждый элемент уÎУ такой, что
y = f (x) для некоторого хÎХ, называется значением функции.

В зависимости от множеств Х и У, функции имеют специфические названия и обозначения:

если Х, У – подмножества множества действительных чисел R, то функция у = f (x) называется действительной функцией действительного аргумента или функцией одной переменной ;

если ХÌR, УÌС – комплексная функция действительного аргумента, обозначается z = f (x);

если ХÌС, У ÌС – комплексная функция комплексного аргумента, обозначается w = f (z);

если ХÌN, УÌR – функция натурального аргумента или последовательность у_п = f (п);

если ХÌR² (т.е. множество точек (x, у) плоскости), УÌR, zÎУ – действительная функция двух переменных z = f (x, у);

если ХÌR^п (п-мерное арифметическое пространство), УÌR – действительная функция п переменных и = f (x₁,х₂, …, х_п). Эту и перечисленные выше функции называют числовыми функциями;

если ХÌ R, УÌ V² (множество геометрических векторов на плоскости) –векторная функция скалярного аргумента, `r(t)= x(t) +y(t) ;

если ХÌ R², УÌ V² – векторная функция двух скалярных аргументов, `F(x, y) = P(x, y) + Q(x, y) ;

и т.д.

В математическом анализе, в основном, изучаются числовые функции. Рассмотрим сначала действительную функцию одного переменного. Поскольку и аргументом, и функцией при этом является действительная числовая величина, то часто будем употреблять ее в женском роде: независимая переменная, зависимая переменная.

В этом случае определение 1.1 может быть перефразировано так:

Определение 1.2 Если каждому значению переменной х из числового множества ХÌR по некоторому закону f поставлено в соответствие определенное действительное число у, то говорят, что на множестве Х задана числовая функция у = f (x). При этом х называют независимой переменной (аргументом), у – зависимой переменной (функцией), Х – областью определения функции и обозначают Х = D(f) .

Множество значений, которые принимает у, называется областью значений функции и обозначается Е(f) . Буква f символизирует то правило, по которому устанавливается соответствие между х и у. Наряду с буквой f используются и другие буквы: y = g (x), y = h (x), y = u (x) . Также функцию можно обозначить z = j(t), x = f (z) , s = S (p) и т. п., т.е. и независимая переменная, и зависимая могут обозначаться любыми буквами латинского алфавита.

Две функции равнытогда и только тогда, когда они имеют одну область определения и при каждом значения аргумента принимают одно и то же значение.

Задать функцию – значит, указать правило, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Основные способы задания функции:

1) Аналитический – с помощью одной или нескольких формул, например

y = sin3x + x² , ,

(последние две функции иногда называют кусочно-аналитическими или ступенчатыми функциями). Если функция задана аналитически (формулой), то под областью определения понимают множество значений аргумента х, для которых по заданной формуле можно вычислить соответствующее значение у (т.е. выполнимы все операции, указанные в формуле).

Если в формуле, описывающей функцию, зависимая переменная выражена через независимую переменную, то такая функция называется явно заданной. Приведенные выше функции заданы явно.

Если же равенство, описывающее функцию, не разрешено относительно зависимой переменной, то функция называется неявно заданной, например

х² + 3ху – у³ = 1 или ln(x+3y) = y².

Неявно заданная функция может быть представлена в форме

,

где t – параметр, принимающий значения из некоторого множества. Такую функцию называют параметрически заданной функцией. Например,

, tÎ R определяет функцию у = (х –1)²,

определяет функцию .

Параметрическое задание функции широко применяется в механике: если х = х(t) и у = у(t) законы изменения координат движущейся точки, то уравнения определяю траекторию движения.

2) Словесный. Например, «целая часть числа» – наибольшее целое, не превосходящее х. Эту функцию обозначают у = [x].

3) Табличный. Например

Так задаются функции, обычно получаемые по результатам опыта, эксперимента, расчета.

4) Графический.

Определение 1.3. Графиком функции у = f (x) называется геометрическое место точек координатной плоскости ХОУ с координатами (х, f (x)), где хÎD(f).

Изображение функциональной зависимости в виде линии (графика) и является графическим заданием функции. Например, показания осциллографа, электрокардиограмма и т.п. – это графическое представление зависимости между изучаемыми величинами.

Заметим, что для однозначной функции ее график имеет только одну точку пересечения с любой прямой х = а, аÎ D(f).

Свойства функций.

I. Функция у = f (x), xÎD, называется ограниченной на множестве D, если существуют действительные числа А, В такие, что " xÎD выполняется условие A £ f(x) £ B. График такой функции расположен в некоторой горизонтальной полосе между прямыми у = А и у = В (рис.1а). Если таких чисел А и В не существует, то функция называется неограниченной на множестве D.

Если " xÎD Þ f(x) £ B, то функция ограничена сверху (рис.1 б).

Если " xÎD Þ f(x) ³ А, то функция ограничена снизу (рис.1в).

Ограниченными в своей области определения являются функции у = sin x и y = cos x, т.к. для всех значений х выполняется

–1 £ sin x £ 1 и –1 £ cos x £ 1.

Функция ограничена сверху, т.к. для всех действительных значений х выполняется условие у £ 1. Примером ограниченной снизу функции служит показательная функция у = , т.к. > 0 для всех действительных значений х.

II. Функция у = f (x), xÎD, называется возрастающей, если для любых значений аргумента х₁, х₂ÎD таких, что х₁< х₂, выполняется условие f (x₁) < f (x₂) (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, Рис.2а).

Функция у = f (x), xÎD, называется убывающей, если "х₁,х₂ÎD таких, что х₁< х₂, выполняется условие (f (x₁) > f (x₂) (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, рис.2б). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями. Если строгие неравенства заменить нестрогими, то соответственно функция будет называться неубывающей и невозрастающей.

III. Функция у = f (x), xÎD, называется четной, если

" хÎD Þ (–х ÎD и f (–x) = f (x)).

График четной функции симметричен относительно оси ОУ (рис.3а).

Функция у = f (x), xÎD, называется нечетной, если

" хÎD Þ (–х ÎD и f (–x) = f (x)).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 3б).

IV. Функция у= f (x), xÎD, называется периодической, если

$ Т > 0: "хÎD Þ (х ± ТÎD и f (x) = f (x ± Т)).

у

Число Т при этом называется периодом функции. На любых двух соседних отрезках оси ОХ длины Т график периодической функции имеет один и тот же вид (рис. 4).

Рис.4

х

Т

V. Функция у = f (x), xÎD, называется обратимой, если для нее существует обратная функция.

Определение 1.4. Пусть Е – область значений функции у = f (x), xÎD. Если каждому значению у Î Е по правилу f ^–1 поставлено в соответствие значение xÎD такое, что f (x) = у, то правило f ^–1 называется обратнойдля f (x) функцией. Пишут х = f ^–1(у). Функции f и f ^–1 называют взаимно обратными.

Если f ^–1 – обратная для f , то f ^–1(f (x)) = x и f (f ^–1(y)) = y. Область определения функции f является областью значений функции f ^–1 и наоборот, область определения f ^–1 есть область значений функции f .

Чтобы для функции, заданной аналитически уравнением у = f (x) найти обратную, нужно в этом уравнении выразить х через у, а затем записать полученную функцию в общепринятой форме у = g(x) .

Например, для функции у = 2х –1 находим 2х = у + 1, . Значит, функция является обратной для функции у = 2х –1.

Функция у = 10^х имеет обратную у = lg x. Для функции обратной является функция .

Заметим, что для функции у = х² имеем . Значит, функция у = х² имеет обратную на множестве [0, +¥) , а на множестве (–¥, 0] обратная для этой функции равна .