Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области (глобальный экстремум)

Пусть в замкнутой ограниченной области G определена непрерывная функция и = f(Р). Тогда, как отмечалось в лекции 7, функция и = f(Р) в области G имеет наибольшее и наименьшее значения, т.е. $ точки Р₁, Р₂ Î G такие, что " РÎG выполняется условие f(Р₁) < f(Р) < f(Р₂), где f(Р₁) = f(Р) и

f(Р₂) = .

Очевидно, точки Р₁ и Р₂ могут лежать как внутри области G, так и на ее границе Г. Если Р_i – внутренняя точка, то f(Р) имеет в ней локальный экстремум. Если Р_i Î Г, то это точка условного экстремума, где в роли уравнений связи выступают уравнения границы Г. Следовательно, точки глобального экстремума следует искать среди критических точек функции, лежащих внутри области и на ее границе.

Для функции z = f(x, y) двух переменных отыскание наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной области G можно проводить по следующему алгоритму.

1) Найти область определения D(f) функции и проверить, лежит ли область G в D(f).

2) Найти критические точки функции и отобрать из них принадлежащие области G (внутренние критические точки).

На каждом из участков границы Г, используя его уравнение, найти критические точки, записав функцию z = f(x, y) как функцию одной переменной, исключив вторую переменную с помощью уравнением рассматриваемого участка границы. При этом нужно отобрать только те точки, которые принадлежат Г (граничные критические точки).

3) Найти «угловые» точки, т.е. точки соединения отдельных участков границы Г. Вычислить значения функции z = f(x, y) во всех полученных точках и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Замечание. Если область ограничена одной замкнутой линией, то, в случае действий по указанному алгоритму, к угловым точкам следует отнести точки, соответствующие концам отрезка изменения переменной, относительно которой на данной кривой записана заданная функция. Например, для функции на границе круга имеет место представление функции в виде , критическая точка у=0, а граничными точками являются точки (0, 2) и (0, –2), т.к. .

Пример 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² + y² в области G, ограниченной линиями у = х² – 1, у = 3.

Решение. D(z) = R². Построим область G (рис.7).

Найдем внутренние критические точки:

, отсюда Р₀(0,0) –критическая точка, причем Р₀ÎG.

Найдем граничные критические точки. Рассмотрим участок границы, определяемый равенством у = х² – 1. На этой линии функция z = x² + y² может быть записана в виде

z₁ = x² + (х² – 1)² = х⁴ – х² + 1,

тогда z₁¢= 4х³ – 2х =2х(2х² – 1) = 0 , откуда

х = 0, или х = .

При х = 0 имеем у = –1 (из равенства у = х² – 1);

при х = получим у = – . Получили точки Р₁(0, -1), Р₂ и Р₃ , принадлежащие границе области G (рис.7).

На участке границы, заданном уравнением у = 3, функция z = x² + y² может быть записана в виде z₂ = x² + 9, тогда z₂¢= 2х = 0, откуда х = 0. Тогда получаем точку Р₄(0,3), которая также принадлежит границе области G.

Найдем «угловые» точки, для этого определим точки пересечения участков границы

Р₅(2, 3) и Р₆(–2, 3)

Вычислим значения функции во всех найденных точках.

z(P₀) = z(0,0) = 0, z(P₁) = z(0,–1) = 1,

z(P₂) = z = , z(P₃) = z =

z(P₄) = z(0,3) = 9 , z(P₅) = z(2,3)= 13, z(P₆) = z(–2,3) = 13.

Значит z = z(±2,3)= 13 и .

Мы рассмотрели аналитический метод отыскания глобольного экстремума. Для функции двух переменных может быть также использован графический метод. Суть его в следующем.

Для функции z = f(x, y) строится серия линий уровня f(x, y) = С для значений C₀<C₁<C₂<...<C_n так, чтобы они проходили через заданную область G. Точка Р₁ÎG, через которую проходит линия уровня с наименьшим С_к, есть точка наименьшего значения функции в этой области, а наименьшее значение функции равно числу С_к. Точка Р₂ÎG, через которую проходит линия уровня с наибольшим С_т, есть точка наибольшего значения функции в области G, а наибольшее значение функции равно С_т.

Пример.5

Найти графически наибольшее и наименьшее значения функции

z = x² + y – 1 в области G = {y = 0 , x = 1, y = x + 1}.

Решение. Построим область G, это треугольник АВМ.

Линии уровня заданной функции имеют уравнения x² + y – 1 = С. Это есть параболы y = (1 +С) – x² . Построим серию этих парабол. Имеем

С₁ = –2, у = –1– x² ,

С₂ = –1, у = – x² ,

С₃ = 0, у = 1– x² ,

С₄ = 1, у = 2 – x² , и т.д.

Очевидно, первая точка, через которую линии уровня с возрастанием С «входят» в область, это точка (0,0). Значит, это и есть точка наименьшего значения функции, а так как на линии уровня, проходящей через эту точку, С = –1, то

.

Последняя точка области G, через которую пройдут линии уровня при возрастании С, будет вершина В треугольника АВМ, ее координаты (1,2), значит, z = z(1, 2) = 2.

Замечание.

Если z = f(x, y) – линейная функция, то достаточно построить одну линию уровня, а затем передвигать ее параллельно себе в направлении градиента функции. Точка входа в область (или точка выхода при движении в направлении, противоположном направлению градиента) будет точкой наименьшего значения, а точка выхода – точкой наибольшего значения функции в заданной области.

Пример 6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x + y в области G, ограниченной линиями у = х, у = (х – 2)².

Решение. Построим область G. Функция z = x + y – линейная, значит, ее градиент в любой точке области определения сохраняет направление и равен grad z = = (1, 1) .

Рассмотрим одну из линий уровня заданной функции

х + у = С,

А

например, при С=0, т.е. х + у = 0, и построим ее.

Заметим, что grad z перпендикулярен линии уровня х+у=0. Двигая линию уровня в направлении градиента, найдем точку А входа линий уровня в область G и точку В выхода линий из области. Точка В есть точка пересечения линий, образующих границу области:

Þ В(4,4).

Точка А – это точка кривой у = (х– 2)², в которой касательная параллельна прямой х+ у =0, т.е. прямой у = –х. Тогда угловые коэффициенты этой прямой и касательной совпадают Угловой коэффициент прямой у = –х равен k = –1, а для касательной k = 2(x– 2).

Из равенства 2(x– 2) = –1 находим х = , тогда у = , таким образом, . Тогда , а .