Логико-вероятностный метод расчета

К логико-аналитическим методам расчета относится логико-вероятностный метод (ЛВМ) расчета надежности. В данном методе математические модели надежности элементов и системы описываются с помощью аппарата алгебры логики, а показатели надежности вычисляются с помощью теорем теории вероятностей.

Математическая модель системы (при использовании ЛВМ) описывается с помощью функций алгебры логики (ФАЛ), т. е. функций, принимающих лишь два значения (у=1 ИЛИ у=0) и наборами двоичных аргументов, x₁, x₂,…x_n, которые также могут находиться лишь в двух несовместных положениях (x_j = 1 или x_j=0).

Символы x₁, x₂ ..., х_п характеризуют состояния элементов, причем x_j=1 соответствует работоспособности элемента, x_j = 0 соответствует его неработоспособности. Аналогично понимают символы у=1, у = 0 для системы.

Функцию алгебры логики, связывающую состояния элементов с состоянием системы, называют функцией работоспособности системы. Эту функцию составляют путем анализа физических особенностей работы системы.

Монотонными являются функции работоспособности систем, в которых замена неработоспособного элемента на работоспособный не может привести к отказу системы.

От логической функции работоспособности переходят к уравнению работоспособности в символах обычной алгебры. При этом используют зависимости:

- если x₁ и х₂ связаны операцией конъюнкции (логического умножения), то x₁ x₂=x₁x₂;

- если x₁ и х₂ связаны операцией дизъюнкции (логического сложения), то x_{1 ⋃}x₂ = x₁ + x₂ ;

если x₁ и х₂ связаны операцией строго разделительной (исключающей) дизъюнкции («исключающее ИЛИ»), то x₁ ⋃⋃ x₂=x₁ + + x₂ - 2x₁x₂.

При использовании этих зависимостей учитывают, что х₁х₁=х₁.

В уравнение работоспособности вместо обозначения простых событий x_i подставляют вероятности этих событий p_i и вычисляют вероятность P_с нахождения системы в работоспособном состоянии (в течение заданного интервала времени).

_.Достоинства логико-вероятностного метода расчета надежности:

1) можно применять при любой логической структуре системы (не только при последовательно-параллельных логических схемах);

2) можно применять при любых распределениях наработки до отказа.

Недостатки метода:

1) не всегда удается составить логическую функцию работоспособности, достаточно точно соответствующую рассматриваемой системе;

2) для сложных систем преобразования ФАЛ становят­ся очень громоздкими.

Метод нашел применение для расчета надежности систем, в которых работоспособное состояние связано с наличием электрической проводимости между входом и выходом системы. Так же этот метод можно использовать для оценки надежности спроектированных систем электроснабжения от генератора или выбранного узла до потребителя, а так же определения риска в этой системе, то есть определения тех объектов, которые вносят основной вклад в надежность систем электроснабжения.

Работоспособное и неработоспособное состояния описываются с помощью функции алгебры логики. Существуют две логические функции: функция работоспособности и функция неработоспособности.

Порядок расчета показателей надежности логико-вероятностным методом.

1. Анализируем действующую схему электроснабжения, по возможности составляем логическую схему.

2.Определим условия работоспособности для потребителя.

3.Определим условия неработоспособности для потребителя

4.Находим приближенное значение функции работоспособности или функции неработоспособности по полиномам.

5. Находим интересующие показатели надежности:

Среднее время восстановления системы:

где Q_Пj– вероятность отказа системы электроснабжения потребителя П_j;

q_i, μ_i - вероятность отказа и величина потока восстановления i-го элемента системы электроснабжения потребителя П_j.

Среднее время безотказной работы электроснабжения потребителя:

.

Другим логико–аналитическим методом расчета надежности системы электроснабжения является метод построения «дерева отказов». Построение дерева отказов начинается с формулировки конечного высказывания об отказе системы. При исследовании надежности системы конечное высказывание относится к определению события, реализация которого приводит к нарушению функционирования в рассматриваемом интервале времени при заданных условиях. В дереве отказов конечное высказывание помещается вверху листа.

Конечное высказывание определяется высказываниями второго уровня. Сначала выявляется возможность реализации события или состояния конечного уровня как дизъюнкции простых высказываний второго уровня. При невозможности реализации конечного уровня как дизъюнкций простых высказываний, выявляются дизъюнкции сложных высказываний, определяющие реализацию конечного.

После записи высказываний второго уровня о событиях, состояниях и отказах срабатывания решается, какие высказывания являются простыми, а какие сложными. Для сложных высказываний второго уровня определяются высказывания третьего уровня и их логические связи («ИЛИ», «И») в том же порядке, что и для высказываний второго и конечного уровня. Процесс записи высказываний и логических связей продолжается до тех пор, пока на всех уровнях не останутся одни простые (элементарные) высказывания, которые полностью раскрывают содержание вышерасположенных высказываний, и могут быть однозначно описаны соответствующими количественными характеристиками.

Элементарные события и состояния обычно обозначаются латинскими буквами. Для обозначения состояния (в отличие от событий) используется тильда («волна») над буквой, для обозначения события отказа срабатывания – нижний индекс «о.с.».

Пример составленного дерева отказов для системы электроснабжения СН приведен на рис. 3.2.

После построения дерева отказов логическое условие реализации конечного события (отказа системы электроснабжения) записывается в форме функции отказа (ФО) путем выполнения указанных в дереве отказов операций логического сложения и умножения над символами (кодами) элементарных событий и состояний, начиная с нижнего уровня.

Рис. 3.2. Дерево отказов надежности системы электроснабжения СН АЭС

При определении практически возможных способов отказа следует отбросить конъюнкции более высокого порядка, если их порядок превышает порядок остающихся более чем в два раза. Далее для перехода от логических функций к математическим уравнениям для расчета частоты и длительности погашения узлов, необходимо подставить вместо события y частоту отказов ω(у) , вместо х_о.с. – вероятность отказа q( х_о.с.), а вместо символа состояния вероятность q( ) = ω(y) t_в( ). Знаки конъюнкции « ∧ » в выражениях заменяются на арифметический знак «×», а знаки дизъюнкции « ∨ » на знаки суммирования «+». Обозначим кратковременные погашения узлов как о.п. , длительные как в.р. , считая кратковременным погашение на время оперативных переключений, а длительным – погашение на время аварийного ремонта или замены оборудования.

При возможности восстановления питания путем оперативных переключений время восстановления принимается от 6 до 30 минут и соответствующая конъюнкция переводится в ФНР для о.п. В противном случае конъюнкция включается в ФНР для в.р.

Логико-вероятностный метод расчета надежности с использованием дерева отказов является дедуктивным методом и применяется в тех случаях, когда число различных видов отказов системы невелико.

Функция неработоспособности для примера дерева отказов на рис. 3.2 запишется в следующем виде:

ФНР_C = f + 16h + (5t + 10l) (h_о.с.+ r_o.c.) + (r_o.c. + h_o.c.+ + ) (g+ h+t + 2t+2h + 3h).