Несжимаемая жидкость

Рассматривается одномерное движение жидкости в трубе (рис. 3) вдоль оси х. Считая жидкость несжимаемой, принимаем, что в ней невозможно образование пустот, т. е. соблюдается условие неразрывности (сплошности) движения. Исходя из этого, количество жидкости,

Рис. 3.

проходящей в единицу времени через сечения 1—1 (G_1x) и 2—2 (G._2x), должно быть одинаково, т. е.

G_1x = G_2x. (I.12)

Обозначим через массовую скорость в направлении оси х, где — плотность рассматриваемой жидкости. Так как масса жидкости в рассматриваемом объеме не изменяется, то массовая скорость во всех сечениях будет одна и та же, т. е.

. (I.13)

Следовательно,

Формула (1.14) выражает закон сохранения массы при одномерном течении жидкости. Исходя из формулы (1.13)или же (1.14), имеем w_x = const, т. е. с учетом постоянства плотности получается , где и₁ — средняя скорость в сечении 1—1, а и₂ — в сечении 2—2.

При выводе уравнения (1.14) предполагается, что площадь поперечного сечения трубы постоянная. В противном случае, обозначая площадь поперечного сечения 1—1 через F₁, а площадь 2—2 — через F₂ и учитывая, что

, (I.15)

из формулы (1.12) получаем

u₁F₁ = u₂F₂ (I.16)

Из формулы (1.16) видно, что при установившемся течении несжимаемой жидкости средние скорости в поперечных сечениях обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Так как при установившемся течении газа массовый расход по длине трубы имеет одно и то же значение, то, исходя из (1.12) и (1.15), для установившегося течения газа получаем

или же

. (I.17)

Рис. 4.

Рассмотрим случай плоского течения несжимаемой жидкости. Для этого возьмем параллелепипед со сторонами , 1 объемом (рис. 4). Количество жидкости, протекающей через стороны 1, 2, 3 и 4 соответственно будет ,

где w_x и w_y — массовые скорости в направлениях осей ох и оу. Заметим, что на рис. 4 не ограничиваем направление течения. Жидкость может притекать через грани 1 и 4 и вытекать через грани 2,3 или же притекать через грани 1 и 2 и вытекать через грани 3,4. Также возможны и другие направления течения. Однако количество притекающей жидкости должно быть равно количеству вытекающей жидкости. Это объясняется тем, что рассматриваемая жидкость несжимаемая, т. е. в рассматриваемом объеме масса (плотность) жидкости не изменяется. Если, например, G_1x = 7; G_2x = 3 и G_l =5, то в силу несжимаемости жидкости со стороны 4 должно вытекать G_2y =9. Другими словами,

(G_2x-G_1x) + (G_2y-G_1y) = 0. (I.18)

Закон сохранения массы [см. формулу (1.18)] показывает, что количество притекающей в данный объем жидкости равно количеству пмтокающей из него жидкости. Выражения в скобках в формуле (1.18) всегда имеют разные знаки, причем здесь приводятся алгебраи­ческие значения G_1x,G_2x,G_1y и G_2y. В нашем примере G_2y-G_1y = 4, а G._2x - G_1x =-4. Последнее замечание имеет место при любом варианте течения. Изменение количества жидкости в рассматриваемом прямоугольнике будет:

; (I.19)

в направлении оси ох и

(1.20)

в направлении оси оу.

Во всех случаях течения несжимаемой жидкости AG_X и AG_y будут иметь разные знаки и

. (I.21)

Формула (1.21) получена с учетом того, что количество притека­ющей в рассматриваемый объем жидкости равно количеству вытека­ющей. Подставляя значения и из (1.19) и (1.20) в (1.21), получаем

.

Разделив последнее выражение на и перейдя к пределу при , получим

Формула (1.22) выражает закон сохранения массы и называется уравнением неразрывности (сплошности) при плоском течении несжимаемой жидкости. В формуле (1.22) всегда имеют разные знаки. Это объясняется тем, что если, например, отрицательная величина, то w_x убывает, и по направлению ох больше притекает жидкости (через сечение 1), чем вытекает (через сечение 2), что может привести к накоплению жидкости. Поэтому из-за несжимаемости жидкости в направлении оу утечка жидкости должна быть больше ее притока. w_y будет расти вдоль оу, т. е. значение должно быть положительным. Точно также при положительной утечка жидкости в направлении ох должна компенсироваться ее притоком в направлении оу, следовательно w_y будет убывать, т. е, значение должно быть отрицательным. Наконец, рассмотрим течение несжимаемой жидкости в пространстве. Для этого возьмем параллелепипед (рис. 5), грани которого параллельны координатным плоскостям и имеют площади:

Рис. 5.

Количество жидкости, протекающей через грани взятого параллелепипеда,*определяется по формулам:

где w_z — массовая скорость в направлении оси z.

Изменение количества жидкости в рассматриваемом параллелепипеде будет в направлении осей :

Так как жидкость несжимаемая, то

(1.23)

В зависимости от направления движения две из этих величин будут иметь одинаковый знак, а третья величина — противополож­ный знак. В противном случае жидкость со всех сторон будет прите­кать в рассматриваемый объем, что физически невозможно из-за несжимаемости жидкости.

Подставив значения в (1.23), разделив их соответственно на и перейдя соответственно к пределу при , получим

Формула (1-24) выражает закон сохранения массы и называется уравнением неразрывности (сплошности) при пространственном течении несжимаемой жидкости. При получении уравнения (1.24) предполагается, что жидкость несжимаемая, т. е. масса (плотность) жидкости в рассматриваемом объеме не изменяется. Если в (1.24)

значения , имеют одинаковый знак, например положительный, то это означает, что в направлении ох и оу больше вытекает жидкости, чем притекает, так как в этом случае w_x и w_y возрастают. В связи с несжимаемостью жидкости эта утечка должна компенсироваться притоком в направлении oz. По направлению oz приток жидкости в рассматриваемый объем должен быть больше ее утечки из рассматриваемого объема, т. е. w_z будет убывать и,

следовательно, значение должно быть отрицательным.

Сжимаемая жидкость

Если жидкость сжимаемая, т. е. плотность (и, следовательно, масса) жидкости может изменяться во времени, то изменение количества жидкости в рассматриваемом объеме приведет к изменению плотности (массы) жидкости в том же объеме. Так, например, для сжимаемой жидкости (см. рис. 3) и за некоторый промежуток времени разность, между количествами притока жидкости в данный объем и утечки из него приведет к изменению плотности жидкости в рассматриваемом объеме. При этом если , т. е. в данный объем больше притекает жидкости, чем из него вытекает, то это приведет к увеличению плотности в данном объеме, если же , то количество вытекающей из данного объема жидкости больше количества притекающей в него жидкости, что и приведет к уменьшению плотности жидкости в данном объеме. Таким образом, если в течение некоторого промежутка времени величина , то плотность в данном объеме возрастает, т. е.

,

если же

,

то плотность в данном объеме убывает, т. е. .

Следовательно, возрастание массовой скорости w (х, t) в данном объеме за некоторый промежуток времени приводит к убыванию плотности жидкости в данном объеме, а убывание массовой скот рости приводит к возрастанию плотности в данном объеме. Другими словами, и всегда будут

иметь противоположные знаки, т. е. знаки , будут

разные. Таким образом, если для несжимаемой жидкости ,

то для сжимаемой жидкости . При этом если ,

то w (x, t) вдоль оси х убывает, т. е. больше притекает жидкости в данный объем, чем из него вытекает, что приводит к возраста-

нию плотности во времени, или же Точно

также, если , то w (x, t) возрастает вдоль оси х, т. е.

больше вытекает жидкости из данного объема, чем в него притекает, что приводит к убыванию плотности во времени,

или же .

Проиллюстрируем сказанное выше на примерах.

Обозначим через объем и положим, что = 50 м³. Пусть количество притекающей за время в этот объем жидкости будет G₁, а количество вытекающей жидкости G₂. Изменение массы в данном объеме за время обозначим через . Тогда:

а) если G₁ = 20 кг, a G₂ = 19 кг, т. е. в указанный объем больше притекает жидкости, чем вытекает, то масса жидкости увеличивается на

б) если G_x = 20 кг, a G₂ = 21 кг, т. е. из этого объема больше вытекает жидкости, чем в него

Теперь перейдем к получению математического выражения закона постоянства массы, т. е. к выводу уравнения неразрывности сжимаемой жидкости. Для одномерного движения жидкости (см. рис. 3) изменение количества жидкости за некоторый промежуток времени составит

, (I.25)

где F — площадь поперечного сечения трубы.

Изменение же массы в рассматриваемом объеме за тот же промежуток времени

. (1.26)

Как было указано выше, всегда будут иметь разные знаки. Приравнивая правые части (1.25) и (1.26), получаем выражение закона постоянства массы

.

В результате деления последнего выражения на при переходе к пределу при находим

Уравнение (1.27) называется уравнением неразрывности сжимаемой жидкости при линейном течении. Правая часть, т. е. , характеризует изменение плотности жидкости во времени, а левая часть —изменение скорости вдоль оси х (оси трубы).

Поэтому , всегда будут иметь разные знаки. Уравнение (1.27) справедливо для любой точки ив любой момент времени t. Это объясняется тем, что сечения х и , а также моменты времени t и были взяты произвольно, а для получения (1.27) мы переходили к пределу при , т. е. формула (1.27) была получена для произвольной точки х и произвольного момента времени t. Последнее замечание относится также к случаю плоского и пространственного течения жидкости.

При плоском течении жидкости мы исходили из рис. 4. Изменение количества жидкости за промежуток времени Δt определяли по формуле

, (1.28}

а изменение массы в рассматриваемом объеме — по формуле

. (I.29)

При выводе формул (1.28) и (1.29) рассматриваем параллелепипед с шириной, равной единице, длиной ; и высотой . Приравняв, правые части (1.28) и (1.29), предварительно разделив их на ,. и перейдя к пределу при , получим

или

^(L30)

Это уравнение называется уравнением неразрывности плоского течения сжимаемой жидкости, и справедливо оно для любой точки (х, у) в любой момент времени t.

Наконец, для получения уравнения неразрывности при течении жидкости в пространстве мы исходили из рис. 5. Изменение количества жидкости в рассматриваемом объеме за промежуток времени Д£ определяли при помощи равенства

(1.31)

Изменение же плотности в рассматриваемом объеме в рассматриваемый промежуток времени будет

. (1.32)

Приравняв правые части (1.31) и (1.32), предварительно разделив их на , и перейдя к пределу при , получим

Это уравнение представляет собой уравнение неразрывности при пространственном течении сжимаемой жидкости. Правая часть уравнения ——- характеризует изменение плотности во времени,

а левая — изменение количества жидкости в рассматриваемом объеме.

Уравнение (1.33) справедливо для любой точки пространства

(х, у, z) в любой момент времени t. Величины могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки. Однако во всех случаях знаки и будут противоположными. Так, например, если в точках указанного объема значение положительное (при этом все могут быть положительными или иметь разные знаки), то это

значит, что из указанного объема жидкости вытекает больше, чем притекает; последнее приводит к уменьшению плотности в этом

объеме во времени, т. е. . Точно также, если значение

отрицательное при этом все могут быть отрицательными или же иметь разные знаки ), то в данный объем больше притекает жидкости, чем вытекает; последнее приводит к увеличению плотности во времени в этом объеме, и,

следовательно, .

При получении уравнения неразрывности (1.33) подсчитывалось изменение массы в объеме параллелепипеда . Этот параллелепипед заполненный. Если рассмотреть фильтрацию жидко­сти через однородную пористую среду пористостью т, то объем _г занятый жидкостью, станет равным .

В случае смеси жидкостей и газов, т. е. переменности состава вдоль объема, уравнение неразрывности выводится для двухкомпонентной системы. .Состав смеси определяется массовой концентрацией с — отношением массы данного компонента к общей массе жидкости в заданном элементарном объеме.

Изменение с происходит путем механического перемешивания — состав движущегося объема не меняется, но в каждой заданной неподвижной точке, находящейся в этом месте жидкости, с со временем будет изменяться.

При диффузии под понимаются мольные скорости потока, а будет соответствовать концентрации. Условием диффузии является наличие градиента концентраций диффундирующего компонента (аналогично тому, как температурный градиент является условием теплопроводности). Будем считать, что накапливающая масса вызывает увеличение концентрации компонента . С помощью этого прироста концентрации также можно выразить накапливающуюся и элементарном параллелепипеде массу .