Источники векторного поля.

Рассмотрим для простоты стационарное векторное поле . Пусть во всем бесконечном пространстве заданы расхождение вектора и его вихрь :

, . (1)

Скалярную величину r и векторную величину назовем «источниками» векторного поля , вкладывая в эти определения тот смысл, что по заданным r=r(x,y,z) и исходное векторное поле можно восстановить и эта операция однозначна при соблюдении некоторых физически объяснимых допущений о характере роста функций r и .

Решение задачи восстановления векторного поля по заданным его расхождению (скалярное поле) и его вихрю (векторное поле) определяется соотношением:

, (2)

где

, (3)

, (4)

, (5)

– элемент объёма. Соотношение (2) – (5) справедливы, если r(x,y,z) и (x,y,z) непрерывны и ограниченны вместе со своими первыми производными во всем пространстве за исключением конечного числа поверхностей, где может терпеть разрыв касательной компоненты, а нормальная компонента должна оставаться непрерывной. Кроме того, должно выполняться условие (иначе выражение (1) теряет смысл). Для существования интегралов (3) и (4) необходимо предположить, что

;

, ,

при .

Вопрос о восстановлении поля по и в ограниченной области пространства требует введения дополнительных так называемых граничных условий и обсуждается в специальной литературе.

Принципиальная разрешимость обсуждаемой задачи имеет важное значение для выяснения свойств основных уравнений электродинамики.