Пример сети Петри для системы обнаружения и устранения неисправностей в технической системе

Пример 2. Требуется описать с помощью сети Петри процессы возникновения и устранения неисправностей в некоторой технической системе, состоящей из М однотипных блоков; в запасе имеется один исправный блок; известны статистические данные об интенсивностях возникновения отказов и длительностях таких операций, как поиск неисправностей, замена и ремонт отказавшего блока.

На рис. 5.17 представлена соответствующая сеть Петри. При числе маркеров в позиции, равном М, можно не ставить М точек, а записать в позиции значение М.

В данном примере значение М в позиции p₂ соответствует числу имеющихся в системе блоков. Переходы отображают следующие события: t₁ – отказ блока, t₂ – обнаружение неисправного блока, t₃ – замена неисправного блока, t₄ – окончание ремонта.

При наличии маркера в позиции p₂ переход t₁ срабатывает, но с задержкой, равной вычисленному случайному значению моделируемого отрезка времени между отказами. После выхода маркера из t₁ он попадает через p₁ в t₂, если имеется маркер в позиции p₆. Это означает, что обслуживающая систему бригада специалистов свободна и может приступать к поискувозникшей неисправности.

Рис. 5.17. Сеть Петри к примеру 2

В переходе t₂ маркер задерживается на время, равное случайному значению длительности поиска неисправности. Далее маркер оказывается в р₃, и, если имеется запасной блок (маркер в р₄), то запускается переход t₃, из которого маркеры выйдут в p₂, p₅ и p₆, через отрезок времени, требуемый для замены блока. После этого в t₄ имитируется восстановление неисправного блока.

Анализ сетей Петри

Анализ сложных систем на базе сетей Петри можно выполнять посредством имитационного моделирования СМО, представленных моделями сетей Петри. При этом задают входные потоки заявок и определяют соответствующую реакцию системы. Выходные параметры СМО рассчитывают путем обработки накопленного при моделировании статистического материала.

Возможен и другой подход к использованию сетей Петри для анализа объектов, исследуемых на системном уровне. Он не связан с имитацией процессов и основан на исследовании таких свойств сетей Петри, как ограниченность, безопасность, сохраняемость, достижимость, живость.

Ограниченность(или К-ограниченность) имеет место, если число меток в любой позиции сети не может превысить значения К. При проектировании автоматизированных систем определение К позволяет обоснованно выбирать емкости накопителей. Возможность неограниченного роста числа меток свидетельствует об опасности неограниченного роста длин очередей.

Безопасность— частный случай ограниченности. Конкретно безопасность соответствует 1-ограниченности. Если для некоторой позиции установлено, что она безопасна, то ее можно представлять одним триггером.

Сохраняемостьхарактеризуется постоянством загрузки ресурсов, т.е.

где N_i – число маркеров в i-й позиции; A_i – весовой коэффициент.

ДостижимостьМ_k → М_j характеризуется возможностью достижения маркировки М_j из состояния сети, характеризуемого маркировкой М_k.

Живостьсети Петри определяется возможностью срабатывания любого перехода при функционировании моделируемого объекта. Отсутствие живости означает либо избыточность аппаратуры в проектируемой системе, либо свидетельствует о возможности возникновения зацикливаний, тупиков, блокировок.

В основе исследования перечисленных свойств сетей Петри лежит анализ достижимости.

Один из методов анализа достижимости любой маркировки из состояния М₀ – построение графа достижимости. Начальная вершина графа отображает М₀, а остальные вершины соответствуют маркировкам. Дуга из М_i, в М_j означает событие М_i → М_j и соответствует срабатыванию перехода t. В сложных сетях граф может содержать чрезмерно большое число вершин и дуг. Однако при построении графа можно не отображать все вершины, так как многие из них являются дублями (действительно, от маркировки М_k всегда порождается один и тот же подграф вне зависимости от того, из какого состояния система пришла в М_k).

На рис. 5.18 показана сеть Петри к примеру с одной рабочей станцией и N пользователями. Граф достижимости для данной сети показана на рис. 5.19.

Рис. 5.18. Сеть Петри к примеру 1

На рисунке 5.19 вершины графа изображены в виде маркировок, дуги помечены срабатывающими переходами. Данная сеть явно обладает свойством живости, так как срабатывают все переходы, а тупики отсутствуют.

Рис. 5.19. Граф достижимости сети Петри к примеру 1

Пример 3. Сеть Петри для двухпроцессорной вычислительной системы с общей памятью и ее граф достижимости представлены на рис. 5.20. Сеть является живой: все разметки достижимы.

Рис. 5.20. Сеть Петри и ее граф достижимости к примеру 2

Вопросы к разделу 5.2

1. Что такое N-схемы?
2. Для чего используют сети Петри?
3. Что такое маркировка сети Петри?
4. Какая из разновидностей сетей Петри приводит практически к тем же результатам моделирования, что и теория массового обслуживания?
5. Чем вызваны возможные конфликтные ситуации в N-схемах?
6. В чем заключается анализ достижимости сетей Петри?
7. Как строится граф достижимости сети Петри?

6. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Имитационные модели представляют собой по существу алгоритмические поведенческие модели, которые отображают процессы, протекающие в системе при воздействии на нее извне как полезных, например, управляющих сигналов, так и возмущений, затрудняющих правильное функционирование системы, т.е. помех, носящих к тому же, как правило, случайный характер. Имитационные модели являются частным случаем так называемых алгоритмических моделей, в которых связь между выходными параметрами системы и ее внутренними и внешними параметрами задается неявно в виде алгоритма моделирования. Этим имитационные модели принципиально отличаются от рассмотренных выше аналитических математических моделей, в которых зависимости выходных параметров от параметров внутренних и внешних задаются с помощью явных выражений или уравнений.

Что касается термина «имитационное моделирование», то он прижился далеко не сразу. Как отмечает ряд экспертов, сочетание слов «имитация» и «моделирование» недопустимо и является тавтологией, однако, исторический процесс формирования этого словосочетания приводит к выводу, что данный термин определяет в моделировании такую область, которая относится к получению информации о сложном объекте путем экспериментов с его моделью на компьютере (поскольку иным путем получить эту информацию не удается). В русском языке появились термины «имитационная модель» и «имитационное моделирование» (ИМ), а в английском языке – "simulation modeling". «Надо отметить, что если в английском языке термин имеет вполне четкий смысл, ибо симуляция и моделирование не являются синонимами, то по-русски имитационная модель – это нонсенс. Любая модель, в принципе, имитационная, ибо она имитирует реальность», – считает академик Н.Н. Моисеев («Математические задачи системного анализа». – М.: Наука, 1981).

Указывая, что данная модель имитационная, мы обычно подчеркиваем, что в отличие от других типов абстрактных моделей, в этой модели сохранены и легко узнаваемы такие черты моделируемого объекта, как структура, связи между компонентами, способ передачи информации. С имитационными моделями также обычно связывают и требование иллюстрации их поведения с помощью принятых в данной прикладной области графических образов. Недаром имитационными обычно называют модели предприятий, экологические и социальные модели.

С учетом последнего замечания имитационная модель рассматривается как специальная форма математической модели, в которой: 1) декомпозиция системы на компоненты производится с учетом структуры проектируемого или изучаемого объекта; 2) в качестве законов поведения могут использоваться экспериментальные данные, полученные в результате натурных экспериментов; 3) поведение системы во времени иллюстрируется заданными динамическими образами.

ИМ на компьютерах является одним из наиболее мощных средств исследования сложных динамических систем. Как и любое компьютерное моделирование, оно дает возможность проводить вычислительные эксперименты с еще только проектируемыми системами и изучать системы, натурные эксперименты с которыми, из-за соображений безопасности или дороговизны, не целесообразны. В то же время, благодаря своей близости по форме к физическому моделированию, этот метод исследования доступен более широкому кругу пользователей.

Примером пренебрежения моделированием, вошедшим в историю, является планирование японцами захвата атолла Мидуэй в 1942 году. Игральные кости, с помощью которых моделировались результаты налета американской авиации на японские корабли, дали девять попаданий. Цифры скрыли, а через месяц пикирующие бомбардировщики потопили четыре японских авианосца, переломив ход войны в пользу Объединенных наций. Это показало, что даже применительно к войне простейшие методы ИМ могли давать достаточно точные результаты.

Еще одной определяющей чертой ИМ является непременная повторяемость экспериментов, поскольку один отдельно взятый эксперимент ничего не значит. Имитационный объект имеет вероятностный характер функционирования. Для исследователя представляют интерес выводы, носящие характер статистических показателей, оформленных, может быть, даже в виде графиков или таблиц, в которых каждому варианту исследуемых параметров поставлены в соответствие определенные средние значения с набором характеристик их распределения, без получения зависимости в аналитическом виде.

Эта особенность является и достоинством, и одновременно недостатком имитационным моделей. Достоинство в том, что резко расширяется класс изучаемых объектов, а недостаток – в отсутствии простого выражения, позволяющего прогнозировать результат повторного эксперимента. В реальной жизни также невозможно для сколько-нибудь сложного объекта получить точное значение какого-либо качественного показателя, а только лишь его ожидаемое значение с возможными отклонениями.

Таким образом, ИМ позволяет с помощью специально сгенерированных псевдослучайных исходных данных многократно «прокручивать» процессы, подобные реальным, накапливая выходные статистические данные, по которым можно делать выводы и затем переносить их на реальные процессы. Обычно имитационные модели строятся для поиска оптимального решения в условиях ограничения по ресурсам, когда другие математические модели оказываются слишком сложными.

Однако оказывается, что ИМ позволяет строить также прогнозы явлений, которые в реальности вообще не наблюдались! Классическим примером является исследование Н.Н. Моисеевым «ядерной зимы» – гипотетического результата воздействия глобальной войны на экосистему планеты. А ведь о климатических последствиях ядерных взрывов полвека назад еще никто не догадывался, несмотря на то, что температурный минимум после извержения вулкана Кракатау был описан метеорологами еще в 1883 году.

ИМ широко используется при исследовании сложных систем (СС) и протекающих в них процессов. Примерами сложных систем могут служить экономические и производственные предприятия, морские и речные порты, аэропорты, ирригационные системы, нефтегазовые транспортные трубопроводные комплексы, вычислительные системы и сети, программные комплексы и многие другие.

Суммируя, можно заключить, что широкое применение ИМ объясняется тем, что слабая формализуемость СС и высокая размерность решаемых задач препятствуют использованию строгих методов оптимизации.