Ошибки усечения и округления

Отвлекаясь от ошибок округления, разность z_k+1 – z(t_k+1) между вычисленным и точным значением решения называется ошибкой усечения.Если в формуле численного интегрирования заменить точные значения z(t_k), z(t_k-1),… на z_k, z_k-1,… , то разность z_k+1 – z(t_k+1) даст локальную ошибку усечения. Полная ошибка усечения вызывается не только локальной ошибкой, но и распространением ошибок от более ранних шагов интегрирования.

Различают одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши, т.е. нахождения решения рассмотренного выше дифференциального уравнения. К одношаговым методам численного интегрирования относятся методы Эйлера и Рунге–Кутта.

Метод Эйлера

Метод Эйлерасостоит в пошаговом применении простой формулы, которая называется рекуррентной:

(3.1)

Метод Эйлерадает хорошее приближение решения только при достаточно малом шаге Δt = h и только для нескольких первых точек. Модификации этого метода определяются формулами:

(3.2)

(3.3)

Эти модификации позволяют повысить точность интегрирования за счет «деления шага пополам».

Методы Рунге–Кутта

Методы Рунге–Куттазадаются приведенными ниже рекуррентными формулами. Методы (3.4) и (3.5) называют методами третьего порядка, поскольку формулы для z_k+1 являются точными при f(z,t)=1, t, t², t³; для достаточное количество раз дифференцируемой функции f(z,t) локальная ошибка усечения имеет порядок O(Δt⁴) при Δt→0. По аналогичным соображениям метод (3.6) называют методом четвертого порядка.

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Из этих методов (3.6) является наиболее употребительным.