Координатный способ задания движения точки

Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени (рис. 24), т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:

, , . (50)

Уравнения движения точки в декартовых координатах полностью определяют движение точки. Они позволяют найти положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени.

Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат. Получим

, , (51)

где – координаты точки ; – единичные векторы осей координат; – проекции скорости на оси координат.

Учитывая (51), согласно определению скорости, имеем:

, (52)

Сравнивая (52) и (51), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:

, , . (53)

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:

(54)

Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим

, (55)

где – проекции ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения и формулам (52) и (51), имеем

. (56)

Формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:

, , . (57)

Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.

Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам

. (58)

Касательная и нормальная составляющие ускорения вычисляются по формулам:

, . (59)

При движение точки ускоренное, при – замедленное.