Определение перемещений в общем случае растяжения и сжатия.
Рассмотрим стержень, нагруженный на правом конце равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью , которая вызывает его растяжение (рис.3.8)
Рис. 3.8 Перемещения сечений а-а и b-b в растянутом стержне
Перемещение сечение равно . Сечение отстоит от сечения на , следовательно, его перемещение равно: . Таким образом, абсолютное удлинение участка равно: . Относительная деформация участка длиной равна: .
Производная от продольного перемещения равна относительной деформации:
(3.6) |
С учетом формул (3.5) ,(3.1) выражение для относительной деформации можно записать в виде . Таким образом, уравнение, связывающее перемещения и усилия примет вид
. | (3.7) |
Получим рабочие формулы для определения усилий и перемещений. Проинтегрируем обе части первого уравнения (3.2), в результате будем иметь
. | (3.8) |
Выражение для продольной силы подставим в (3.7) и проинтегрируем его обе части, получим
. | (3.9) |
Константы интегрирования и в формулах (3.8), (3.9) определяют из статических и кинематических граничных условий (рис.3.9):
Рис.3.9 Граничные условия | Кинематическое условие , статическое условие . |
Если на стержне распределенная нагрузка отсутствует ( ), то уравнения (3.8), (3.9) принимают вид:
, . | (3.10) |
Запишем уравнение равновесия элемента стержня в перемещениях. Для этого продифференцируем по обе части уравнения (3.7) и с учетом (3.2) получим:
(3.11) |
Отметим также, что полное удлинение стержня определяется по формуле (взаимное удаление или сближение концов стержня )
(3.12) |
Правило знаков для продольных перемещений: положительным перемещениям соответствуют перемещения, совпадающие с положительным направлением оси х.
Приведем примеры решения задач с использованием полученных уравнений.
Пример 3.2 Построить эпюру продольных сил и продольных перемещений для стержня переменного сечения от действия собственного веса. Длина стержня . Поперечное сечение прямоугольник: высота сечения , ширина меняется по длине от 0 до . Объемный вес материала стержня .
г) |
Рис. 3.6 Эпюры усилий и перемещений.
Из подобия треугольников (рис 3.6 а, б) находим ширину поперечного сечения стержня в сечении с координатой . Уравнение равновесия отделенной части стержня (рис. 3.6 б) , , или . Закон
изменения продольной силы - квадратная парабола: , , .
Интенсивность распределенной нагрузки от сил собственного веса - изменяется по линейному закону: , .
Проверяем по формуле (3.8) . На свободном конце стержня продольная сила равна нулю . Тогда .
Определим перемещения поперечных сечений по формуле (3.9).
.
Константу найдем из условий закрепления .Тогда перемещение сеченийизменяются по длине стержня по закону кубической параболы .
Строим эпюру по четырем точкам: , , , .
Все ординаты эпюры продольных перемещений меньше нуля (D<0), т.к. сечения перемещаются против оси x.
Константа пропорциональна перемещению поперечного сечения в начале координат.
Пример 3.3Для стержня, нагруженного как показано на рис. 3.11 а, построить эпюру продольных усилий и перемещений .
Удаляем опорное устройство, - опорная реакция (рис. 3.11 б). Составляем уравнение равновесия .
Рис.3.11 К примеру 3.3
Начало координат на левом конце стержня.
Рис. 3.12 1-й участок 1-й участок. Используем формулу (3.10) . . | Рис. 3.13 2-ой участок 2-й участок. Используем формулу (3.10) Константу определяем из условия непрерывности перемещений на границе участков . . |
Пример 3.4Для стержня, нагруженного как показано на рис. 3.14 а, построить эпюру продольных сил и перемещений
Рис. 3.14 Статически неопределимая задача
Удалим опорные устройства, а действие их на стержень заменим неизвестными реакциями , .Составим уравнение равновесия (рис. 3.14 б)
, .
Имеем одно уравнение и два неизвестных , . Уравнений статики недостаточно для определения всех неизвестных реакций. Такая задача называется статически неопределимой. Для ее решения удобно использовать уравнения (3.10).
1-й участок. . Записываем уравнения (3.10) на первом участке , . Перемещение поперечного сечения на левом конце стержня равно нулю , .
2-й участок. . Записываем уравнения (3.10) на втором участке , . Перемещение поперечного сечения на правом конце стержня равно нулю или
( ) |
Перемещения сечений на границе участков равны , или
( ) |
Вырежем двумя близкими сечениями узел вблизи точки с координатой и запишем уравнение равновесия
. |
Последнее уравнение примет вид
( ) |
Решаем систему уравнений ( )-( ) относительно . Умножаем ( ) на и складываем с ( ) в результате получаем . Из уравнения ( ) находим . Подставляем в ( ) получаем .
Записываем окончательные выражения для усилий и перемещений на участках:
1-й участок. . , ;
2-й участок. . , .
Строим эпюры усилий и перемещений (рис.3.14 в ,г)
Реакции в опорных сечениях , находим из уравнений равновесия узлов:
Таким образом, первоначальное направление надо заменить на противоположное (рис.3.14 б).
3.5 Обобщенный закон Гука.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с ребрами единичной длины по граням которого действуют только нормальные напряжения .
Рис 3.15 Трехосное растяжение элемента
Используем принцип независимости действия сил. Деформации элемента при растяжении его вдоль осей x,y,z равны (рис. 3.16):
Рис. 3.16 Деформации элемента при растяжении его вдоль оси x.
вдоль оси x | , | , | ; |
вдоль оси y | , | , | ; |
вдоль в оси z | , | , | . |
Складываем правые части равенств по столбцам, получаем формулы обобщенного закона Гука. , ,
(3.13) |
Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 1678;