Главные напряжения и главные площадки.

Рассмотрим некоторое тело, нагруженное системой сил, удовлетворяющей условиям равновесия (рис. 5.9 а). Тремя парами параллельных плоскостей выделим в окрестности точки элементарный параллелепипед (рис. 5.9 б).

Рис. 5.9 Объемное напряженное состояние (а). Главные площадки (б)

Напряжения, действующие на гранях элементарного параллелепипеда в общем случае объемного напряженного состояния (рис. 5.9 б), сведем в матрицу (тензор напряжений)

(5.22)

Если записать уравнения равновесия параллелепипеда: сумма моментов всех сил относительно осей x,y,z, то получим численные равенства закона парности касательных напряжений:

, ,

(5.23)

В двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные общему ребру, равны друг другу и направлены обе либо к общему ребру, либо от ребра. Поэтому матрица симметрична. Меняя ориентировку параллелепипеда (рис. 5.9 в), можно найти такое его положение, когда на всех гранях касательные напряжения будут равны нулю. Такие площадки и действующие на них нормальные напряжения называются главными напряжениями и главными площадками.

Рассмотрим способ их определения. Предположим, что нам известен наклон какой-либо главной площадки, определяемой нормалью γ (рис.5.10 а). Направляющие косинусы нормали:

(5.24)

Сечением, параллельным этой площадке, выделим из исходного параллелепипеда тетраэдр (рис 5.10 б).

Рис. 5.10 Наклонная площадка (а) и равновесие тетраэдра, выделенного главной площадкой (б)

Примем площадь наклонной грани тетраэдра dA=1, тогда площади других граней будут равны:

(5.25)

Напряжение, действующее на главной площадке, обозначим . Составим условия равновесия тетраэдра в виде суммы проекций действующих на него сил на ось x:

(5.26)

Аналогичные уравнения будут для осей y,z. Запишем эти уравнения в виде системы линейных однородных алгебраических уравнений (СЛОАУ) относительно неизвестных направляющих косинусов :

(5.27)

Решение СЛОАУ нам не подходит, т.к. должно выполняться условие (5.3): .

Поэтому найдем решение (5.27) отличное от нуля. Для этого, потребуем, чтобы определитель системы равнялся нулю, т.е.

(5.28)

Раскрываем определитель (5.28) получаем:

(5.29)

Из симметрии матрицы определителя (5.28) следует, что все три корня уравнения (5.8) будут действительные числа:

(5.30)

Коэффициенты уравнения (5.29) с учетом закона парности касательных напряжений (5.23) вычисляются по формулам:

(5.31)

Коэффициенты (5.31) не зависят от выбора осей координат, так как при любых исходных площадках уравнение (5.29) должно давать одни и те же корни: Поэтому величины называются первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния (тензора напряжений).

Если площадки элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки, являются главными, то для инвариантов напряженного состояния имеем следующие формулы:

(5.32)

Для определения , соответствующих одному из трех главных напряжений, значение этого напряжения надо подставить в уравнение (5.27) вместо σ. Совместное решение (5.29) и (5.27) даст искомые направляющие косинусы .

Пример 5.1 Предположим, что рассматривая напряженное состояние в точке, мы выделили в ее окрестности элементарный параллелепипед и на его гранях обнаружили систему нормальных и касательных напряжений, обладающих тем свойством, что все компоненты оказались равными друг другу τ (рис. 5.11 а). Определим главные напряжения и установим, что же это за напряженное состояние.

Рис. 5.11 Напряжения на гранях параллелепипеда (а). Выделение элементарного параллелепипеда исходного состояния (б)

Вычислим инварианты по формулам(5.31), уравнение (5.29) примет вид, корни которого равны:

Таким образом, на рис. 5.11,а представлено одноосное напряженное состояние с напряжением (Рис 5.11 б). На рис 5.3, б показана тройка взаимно перпендикулярных секущих площадок имеющих равный наклон к оси растянутого стержня.

Пример 5.2 Предположим, что рассматривая напряженное состояние в точке, мы выделили в ее окрестности элементарный параллелепипед и на его гранях обнаружили систему только равных касательных напряжений τ(рис.5.12,а).

Рис. 5.12 Напряженное состояние в точке (а), главные площадки исходного состояния (б)

Вычислим инварианты по формулам(5.31), уравнение (5.29) примет вид, корни которого равны:

Следовательно, рассматриваемое состояние является трехосным (рис. 5.12 б).