Главные площадки и главные напряжения.
Выражение (5.5) показывает, что является функцией угла наклона площадки α. Рассмотрим задачу об отыскании площадок, в которых возникают экстремальные для точки нормальные напряжения. Для этого найдем производную от (5.5) и приравняем её нулю:
(5.9) |
Сравнив выражение в квадратных скобках с формулой (5.7), можем равенство (5.9) переписать в эквивалентной форме:
(5.10) |
Из (5.10) следует, что на площадках где действуют экстремальные нормальные напряжения, касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными, а соответствующие им нормальные напряжения – главными напряжениями в точке.
Из выражения (5.9) получим тангенс двойного угла наклона нормалей главных площадок:
(5.11) |
Выражение (5.11) дает два взаимно перпендикулярных направления с углами и , по которым действуют главные напряжения σmax, σmin.
Для определения значений главных напряжений подставим в формулу (5.5) α=α0 (α0-определено из решения уравнения). После преобразований (см. стр. 348, 349 учебник «Сопротивление материалов» А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин.) получим:
(5.12) |
В этой формуле знак плюс соответствует максимальному главному напряжению, а минус – минимальному. Очевидно, что
(5.13) |
Из приведенного вывода следует, что при любых исходных напряжениях σx,σy,τxy в данной точке существует параллелепипед, на гранях которого действуют только нормальные напряжения.
Приведем формулу для тангенса одиночного угла наклона искомой главной площадки, на которой действует
. | (5.14) |
В формуле (5.14) положительный угол отсчитывается от оси по ходу часовой стрелки.
Угол между осью и внешней нормалью к сечению, в котором действует определяется по формуле .
Простое универсальное правило для направления . Направление σmax всегда проходит через те две четверти осей координат, к которым сходятся стрелки касательных напряжений τxy,и τyx (см. рис. 5.6)
Рис. 5.6 Направление σmax
Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 1500;