Распределение векторного потенциала магнитного поля кругового кольца с током.

Считая зависимость (9) известной, а принцип суперпозиции справедливым, получаем

. (12)

После вычисления соотношения (12) как векторного поля вектор магнитной индукции определяют простым дифференцированием

. (13)

Векторный потенциал магнитного поля кругового кольца радиуса а с током , расположенного в плоскости z=0 c центром в начале координат, в точке пространства с декартовыми координатами (x.y,z) определяется выражениями:

(14)

Вычисление полученных квадратур как функций произвольной точки пространства достаточно сложно. Аналитические результаты с помощью пакета символьных вычислений Maple могут быть получены при непосредственном учете осевой симметрии системы токов (при этом можно положить значение координаты y равным нулю):

, (15) . (16)

Здесь символами К и Е обозначены специальные функции математической физики – эллиптические интегралы первого и второго рода. На рис. 2 приведены результаты расчёта распределения величин проекций векторного потенциала магнитного поля, образованного круговым контуром с током.

Рис. 2. Векторный потенциал магнитного поля кругового кольца с током. Слева – зависимость от горизонтальной координаты при фиксированной вертикальной, справа – зависимость от вертикальной координаты при фиксированной горизонтальной. Расчёты выполнены для следующих численных величин: в системе СИ.

В практических расчетах использование описанного приёма оправдано только при условии построения замкнутого аналитического выражения для компонент векторного потенциала, в противном случае использование векторного потенциала существенных преимуществ не доставляет.