Интеграл Лебега от простой функции


Числовая функция , заданная на измеримом пространстве с конечной мерой m, называется простой, если она принимает конечное или счётное число различных значений и является измеримой.

Теорема 1.Функция f является простой тогда и только тогда, когда , где множества измеримы и принимает постоянное значение на множестве , k=1,2,¼.

Теорема 2.Для любой измеримой функции , заданной на измеримом пространстве (X,S,m) существует последовательность простых функций, сходящаяся к в каждой точке x. Если функция f ограничена на X, то последовательность можно выбрать равномерно сходящейся. Если , то можно выбрать так, чтобы последовательность была неубывающей.

Пусть – простая функция, принимающая значения , при . Обозначим через , тогда .

Функция f называется интегрируемой по Лебегу, если ряд сходится абсолютно. Если функция f интегрируема, то сумма этого ряда называется интегралом Лебега функции f, т.е.

.

 

Теорема.Пусть и пусть на каждом Bi функция f принимает значение . Тогда

,

причём функция f интегрируема на X тогда и только тогда, когда ряд сходится абсолютно.



Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 217;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.006 сек.