Интеграл Лебега от простой функции
Числовая функция , заданная на измеримом пространстве с конечной мерой m, называется простой, если она принимает конечное или счётное число различных значений и является измеримой.
Теорема 1.Функция f является простой тогда и только тогда, когда , где множества измеримы и принимает постоянное значение на множестве , k=1,2,¼.
Теорема 2.Для любой измеримой функции , заданной на измеримом пространстве (X,S,m) существует последовательность простых функций, сходящаяся к в каждой точке x. Если функция f ограничена на X, то последовательность можно выбрать равномерно сходящейся. Если , то можно выбрать так, чтобы последовательность была неубывающей.
Пусть – простая функция, принимающая значения , при . Обозначим через , тогда .
Функция f называется интегрируемой по Лебегу, если ряд сходится абсолютно. Если функция f интегрируема, то сумма этого ряда называется интегралом Лебега функции f, т.е.
.
Теорема.Пусть и пусть на каждом Bi функция f принимает значение . Тогда
,
причём функция f интегрируема на X тогда и только тогда, когда ряд сходится абсолютно.
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 284;