Определение корней трансцендентных уравнений

Уравнение F(x)=0 называется трансцендентным, если хотя бы одна из функций в нем не является алгебраической.

Пример

(6.4)

Регулярных аналитических методов решения трансцендентных уравнений не существует. В каждом конкретном случае ищется свой индивидуальный прием.

Общим является только графический метод, состоящий в построении графика функций F(x).

Точки пересечения построенного графика с осью абсцисс и есть искомые действительные корни уравнения.

В среде MathCAD возможны два способа нахождения корней уравнения (6.4)

· с помощью методов символьной математики согласно правилу 6;

· с помощью встроенной функции root в подменю f(x) меню «Вставка» согласно правилу 2.

Рассмотрим применение обоих методов на примере нахождения корней уравнения (6.4).

Поскольку неизвестно решение (значения х, при которых F(x)=0), то строим его график с целью приблизительного определения искомого действительного решения.

х := -10 … +10

Рис. 6.35 Графическое решение

Из графика видно, что это решение, определяемое как точка пересечения графика с осью абсцисс, лежит в промежутке значений х = 2…3.

Решение по правилу 6

Записываем многочлен из уравнения (6.4):

Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом месте символ переменной х – путем протаскивания курсора.

Открываем меню «Символ», подменю «Переменные» и делаем щелчок по опции «Вычислить».

На рабочем листе получается результат:

Решение по правилу 2:

Записываем уравнение:

Вводим любое имя искомого решения и знак присвоения, например:

r := ,

после которого размещаем красный визир ±.

Обращаемся к пиктограмме «Встроенная функция f(x)» на 2-ой строке текстового окна – стандартной линейке.

На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбираем строку с надписью «Решение», а в разделе «Название функций» - root (корни). После нажатия на кнопку «ок» или «Вставить» на рабочем листе появляется название данной функции с четырьмя черными прямоугольниками, которые следует заполнить:

r := root (■, ■, ■, ■)

В первое окошко вписываем имя функций F(x), во второе – переменную х, в третье и четвертое – (а) нижний и (в) верхний пределы, внутри которых ищется решение. Запись приобретает вид:

r: = root (F(x), x, a, в) ,

(пределы согласно рисунку 6.1 установлены 0 и 3).

Вновь вводим искомое решение, но теперь со знаком равенства:

r = ,

и сразу получаем результат.

r = 2,8267802

Точность полученного результата устанавливаем путем открытия меню «Формат», подменю «Результат» и выбора требуемого числа десятичных знаков в открывшемся окне.

Проводим проверку полученного результата, для чего вычисляем значение функции F(x) при найденном значении корня.

x := 2.8267802

F(x) = 2.287 · 10^-7

Близость к нулю функции F(x) указывает на правильность полученного результата.