Построение математических моделей радиотехнических систем

В общем виде

Несмотря на всю сложность и разнообразие электронных схем (пассивные и активные фильтры, линейные транзисторные каскады, импульсные схемы, логические элементы ЭВМ и т.п.), в общем случае их можно рассматривать при моделировании как электрические схемы с сосредоточенными параметрами, состояние этих систем полностью описывается векторами токов I и напряжений U. Такое представление позволяет интерпретировать конкретную электронную схему как физическую систему, состоящую из совокупности связанных между собой физических компонент (резисторов, конденсаторов, транзисторов, диодов, катушек индуктивности и т.д.), в свою очередь каждая r-я компонента может быть также представлена в виде физической системы, образованной более простыми элементами, каждый из которых характеризуется совокупностью конструктивно-технологических и электрофизических параметров а_r, r =

Обозначим через z(t) = (z₁(t), z₂(t), ..., z_r(t)) – воздействия на r входах физической системы, а через y(t) = (y₁(t), y₂(t), ..., y_m(t)) – реакции на m выходах системы.

Для описания состояния схемы в общем виде значение переменных состояния может быть записано в виде:

s(t) = (s₁(t), s₂(t), …, s_l(t)). (1)

Эти переменные однозначно описывают поведение системы в любой момент времени t ≥ , при условии, что если начальное состояние s(t₀) в момент времени t₀ известно, уравнение (1) расписывается через систему уравнений:

1) совокупность дифференциальных уравнений состояния:

S_i(t) = (s(t₀), z(t), a(t), t), i= ; (2)

2) совокупность алгебраических уравнений типа "вход-состояние-выход":

y_j(t) = (s( ), z(t), a(t), t), j = . (3)

Здесь S_i(t) = (t)/dt – производная функции S_i(t); a = (a₁, a₂, ..., a_n) – совокупность параметров, характеризующих физическую систему; t – время. Для электронных схем приведенные уравнения являются стандартной формой уравнений состояния. Эти уравнения, образующие системы (2) и (3), могут быть построены с помощью законов Кирхгофа, если в качестве переменных состояния s(t) выбирать токи в катушках индуктивности I_L и напряжения на конденсаторах U_c. Это связано с тем, что через эти величины, характеризующие запасы энергии в реактивных компонентах, можно определить токи I и напряжения U всех остальных компонент схемы. При заданных воздействиях z(t) на входах и известных значениях параметров a(t) система уравнений (2) и (3) позволяет проводить анализ переходных процессов в электронной схеме.

При отсутствии изменений в состоянии физической системы (S_i(t) = 0, i = ) система уравнений (2) и (3) сводится к совокупности алгебраических и трансцендентных уравнений, которые являются основой для анализа статического режима электронной схемы.

Процедуру представления электронной схемы в виде физической системы можно охарактеризовать следующей последовательностью действий:

1) определяется цель и дается содержательная постановка задачи схемотехнического проектирования;

2) перечисляются основные характеристики электронной схемы;

3) схема интерпретируется в терминах физической системы с указанием ее входов и выходов;

4) в системе выделяются элементы, для которых задается совокупность характеризующих их параметров а;

5) указываются входные воздействия z(t), выходные реакции y(t) и пе­ременные состояния s(t);

6) вводятся предположения и допущения относительно свойств физической системы и формулируются физические законы, которым подчиняются явления как в компонентах, так и во всей схеме в целом.

1.