Аналитическое описание процесса

Если дана пластина толщиной и толщина ее мала по сравнению с длиной и шириной, то такую пластину обычно считают неограниченной. Изменение температуры происхо­дит только в одном направлении х, в двух других направ­лениях температура не изменяется, следовательно, в пространстве задача является одномер­ной. Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой t_ж = const. На обеих поверхностях отвод теплоты осуществляется при постоян­ном во времени коэффициенте теплоотдачи, который одинаков для всех точек поверхности пластины.

Рис.1.7

Аналитическое описание процесса нестационарной теплопроводности включает в себя дифференциальное уравнение и условия однозначности.

Отсчет температуры тела можно вести от температуры среды, т. е. обозначить - избыточная температура. При этих условиях для тела в форме пластины уравнение теплопроводности для одномерной задачи можно представить в виде

. (1.41)

Начальные условия:

t = 0; .

Граничные условия:

На оси х=0; .

На поверхности могут быть заданы граничные условия третьего рода

Х =d; . (1.42)

Для неограниченного цилиндра радиусом r₀ уравнение теплопроводности принимает вид

(1.43)

Начальные условия:

t = 0; .

Граничные условия:

r = 0; ;

r = r₀; . (1.44)

Решение уравнения для распределения температуры по толщине при нагревании (охлаждении) неограниченной пластины в этом случае имеет следующий вид

(1.45),

где - безразмерная (относительная избыточная) температура;

- текущая избыточная температура;

- начальная избыточная температура;

- в процессе нагревания (или охлаждения) она уменьшается ( );

- безразмерный коэффициент ;

- корни характеристического уравнения;

- безразмерная координата ( - определяющий размер, равный полутолщине пластины);

;

- число Фурье, характеризует безразмерное время ( );

- число Био, оно представляет собой отношение внутреннего термического сопротивления теплопроводности к внешнему сопротивлению теплоотдачи.

- коэффициент теплопроводности (Вт/м град), является физическим параметром вещества и в общем случае зависит от температуры и физической природы вещества.

- коэффициент теплоотдачи (Вт/м² град), характеризует конвективный теплообмен, зависит от физической природы, режима движения, скорости, теплопроводности, теплоёмкости, плотности, вязкости окружающей среды, размера и формы поверхности, разности температур поверхности и окружающей среды и т. д.

Количество теплоты, полученное (отданное) в процессе, определяют по формулам:

, (1.47)

- плотность, кг/м³;

- теплоёмкость, кДж/кг·град;

- объём тела, м³. V = 2 d f;

; (1.48)

(1.49)

- средняя по массе безразмерная температура в конце процесса.

При расчёте температурного поля сплошного длинного цилиндра при нестационарном режиме используют следующие формулы:

, (1.50)

где - безразмерная координата;

- функция Бесселя первого рода нулевого порядка (колебательная затухающая функция).

Количество теплоты определяют по формулам:

; V = p r₀² l ;

;

. (1.51)

При Fo≥0,3 (для пластины) или Fo≥0,25 (для цилиндра) ряд оказывается настолько быстро сходящимся, что для практических расчетов достаточно ограничиться первым членом ряда (погрешность не превышает 1%) – это соответствует стадии регулярного режима. В этом случае изменение во времени температуры θ₀ на средней плоскости пластины (Х=0) или оси цилиндра (R=0) описывается уравнением

, (1.52)

а температуры на поверхностях этих тел (Х=1 или R=1)

. (1.53)

Значения N, P и μ₁² в зависимости от числа Био занесены в таблицы, а для безразмерных температур средней плоскости и поверхности θ₀(Bi, F₀) и θ_п(Bi, F₀) составлены номограммы (номограммы Будрина) – см. Приложение.

1.3.2. Понятия тонкого и массивного тела

С теплотехнической точки зрения все тела, подвергаемые нагреву, в зависимости от характера распределения температуры внутри них делятся на термически тонкие и термически массивные.

К тонким относят тела с малым внутренним тепловым сопротивлением (в пределе ® 0), к массивным относятся тела с относительно большим тепловым сопротивлением (в пределе ® ¥). У тонкого тела тепловое сопротивление переносу теплоты теплопроводностью (внутреннее) от его поверхности к середине значительно меньше теплового сопротивления теплоотдачи (внешнего), т.е.

<<

Число Био является критерием термической массивности тел. В термически тонких телах Bi®0, перепад температур по сечению практически отсутствует, т.е. можно принять распре­деление температуры по сечению изделия равномерным. Для массивных тел Bi®¥, при нагревании и охлаждении их наблюдается значительный перепад температур по сечению и требуется производить выдержку для выравнивания температуры.

Изменение температуры во времени на поверхности t_пов и в середине t_ц неограниченной пластины при граничных условиях третьего рода (t_ж = const) для идеально тонких и идеально массивных тел при двухстороннем нагреве представлено на рис. 1.8.

а) б)

Рис.1.8. Изменение температуры поверхности и середины пластины тонких (а) и массивных (б) тел

На рис. 1.9 показано распределение температуры по толщине бесконечной пластины в различные периоды времени нагрева.

а) б)

Рис.1.9. Распределение температуры по толщине пластины:

а) при Bi ® 0, б) при Bi ® ∞

Из опыта работы нагревательных устройств установлено, что к тонким телам можно отнести такие, у которых Bi< 0,25, а при Bi ³ 0,5 тела следует считать массивными.

2. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

Под конвекцией теплоты понимают процесс ее переноса при перемещении объемов жидкости или газа в пространстве из области с одной температурой в область с другой. Перенос теплоты в этом случае неразрывно связан с переносом самой среды.

Конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводностью. Совместный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом.

Перенос теплоты от поверхности твердого тела к жидкой среде или наоборот называется также конвективным теплообменом или конвективной теплоотдачей.

Интенсивность конвективного теплообмена характеризуется коэффициентом теплоотдачи a. В общем случае a может изменяться вдоль поверхности теплообмена.