Математическая модель струйного течения

Течение газа в турбулентной струе описывается уравнениями Рейнольдса. Эти уравнения получаются из дифференциальных уравне­ний неразрывности, движения и энергии, записанных для мгновенных параметров газа с последующей заменой их на осредненные и пульсационные величины, осреднением по времени всех членов уравнений и пренебрежением малыми членами этих уравнений, исходя из того факта, что изменение всех параметров газа поперек струи значительно превосходит их изменение вдоль струи, т.е. df/dy >> df/dx (f - параметр газа: скорость, температура и т.д.), и поперечная осредненная скорость v намного меньше продольной осредненной скорости u: v << u.

Для осесимметричного стационарного струйного течения газа постоянного состава эти уравнения в цилиндрических координатах имеют вид [7]:

- уравнение неразрывности

(4.1)

- уравнение количества движения в проекции на ось х (совпадает с осью струи)

(4.2)

- уравнение количества движения в проекции на радиус струи r

(4.3)

- уравнение энергии

(4.4)

Уравнения (4.1)–(4.4) дополняются уравнением состояния

(4.5)

При записи уравнений (4.1) - (4.5) введены следующие обозначения: х и r - оси цилиндрической системы координат (ось х совпадает с осью струи, а ось r - перпендикулярна ей), u и v - проекции век­тора скорости на оси координат х и r, Т - температура, r - плот­ность, p – давление, с_р - удельная теплоемкость при постоянном давлении. Все физические величины в уравнениях (4.1)-(4.5) являются осредненными по времени. Уравнения (4.1), (4.2) и (4.4) записаны в предположении, что пульсация плотности газа мала и ей можно пренебречь. Это предположение справедливо для струй постоянного состава при относительно небольших подогревах.

Коэффициенты турбулентной вязкости m_т и теплопроводности l_т могут быть рассчитаны с использованием модели турбулентности Прандтля (см. Приложение 1) по формулам:

, ,

в которых: l – путь перемешивания для турбулентного переноса количества движения, l_Т - путь перемешивания для турбулентного переноса тепла.

Для вычисления пути перемешивания l в осесимметричной струе можно использовать формулу С.Ю.Крашенинникова [3]

,

в которой Du_max и (¶u/¶r)_max – максимальная разность скоростей и максимальная поперечная производная скорости в сечении струи, В – константа, равная для осесимметричной струи 0,013.

Путь перемешивания для турбулентного переноса тепла l_T выражается через путь перемешивания для турбулентного переноса количества движения l: . Турбулентное число Прандтля Pr_т определяется не свойствами газа, а типом течения. Для круглой осесимметричной струи Pr_т = 0,75…0,8.

Система уравнений (4.1)-(4.5) решается при следующих граничных условиях

u = u₀, Т = Т₀ x = 0

u = u_н, Т = Т_н y = ¥ (4.6)

¶u/¶r = 0, ¶T/¶r = 0 y = 0

Здесь индексом 0 обозначены параметры газа в начальном сечении струи (на срезе сопла), а индексом н – параметры газа при y = ¥.

Система уравнений (4.1)-(4.5) может быть решена путем числен­ного интегрирования с граничными условиями (4.6).