Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями

 

Модуль объемной упругости К, также называемый модулем всестороннего сжатия, показывает, насколько сильно меняется давление при изменении объема. Он является коэффициентом пропорциональности, связывающим изменение давления и относительное изменение объема

.

Так как давление зависит не только от объема, но и от температуры, K определяется не только веществом, но и условиями сжатия. Наиболее важными являются адиабатический Kад и изотермический КТ модули объемной упругости. Они определяются соотношениями

и .

В предыдущем параграфе было показано, что для идеального газа

.

Отсюда следует, что Kад = g KТ. Покажем, что такое соотношение между адиабатическим и изотермическим модулями объемной упругости имеет место не только для идеального газа, но и для любого однородного и изотропного вещества. При выводе будем пользоваться фактом существования уравнения состояния (не зная его конкретного вида) и первым началом термодинамики

f(P,V,T) = 0,

dQ = dU + PdV.

Запишем первое начало термодинамики для адиабатического (dQ = 0) процесса

dU + PdV = 0.

Рассматривая внутреннюю энергию как функцию температуры и объема U=U(T,V), возьмем ее полный дифференциал

dU = (¶UT)V dT + (¶UV)T dV

и подставим в предыдущее выражение. Учитывая, что (¶UT)V = CV получим

CV dT + [(¶UV)T + P]dV = 0.

Из соотношения (4.6) следует, что выражение в квадратных скобках равно (CpCV)(¶TV)P.

Тогда

CV dT + (CP – CV)(¶TV)P dV = 0. (7.1)

Напомним, что рассматривается адиабатический процесс, и приращения dV и dT связывают температуру и объем на адиабате. Обозначая, как обычно, СРV = g, можно эту связь представить в виде

. (7.2)

Соотношение (7.2) в каких-то ситуациях может оказаться весьма полезным, но сейчас нас интересует связь давления с объемом.

Рассматривая температуру как функцию давления и объема T = T(P,V), возьмем ее полный дифференциал dT = (¶TP)V dP + (¶TV)P dV и подставим в уравнение (7.1). После упрощений получим

,

или .

Воспользовавшись тождеством (2.4) легко убедиться, что (¶TV)PPT)V = - (¶PV)T.

Окончательно получим .

Значит Kад = g KТ для любого однородного и изотропного вещества.

 






Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 1583; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.