Критерий Стьюдента для зависимых выборок

Рассмотрим теперь случай зависимых выборок. Это такие массивы данных, в которых каждому числовому значению одной выборки обязательно соответствует парное, причинно и следственно связанное, значение другой выборки. Это имеет место, когда какие-либо характеристики состояния организма регистрируются до некоторого воздействия на него и после или при разных вариантах воздействия, но обязательно у одних и тех же людей. Простейший пример, когда у некой группы людей измерили частоту пульса и величину артериального давления, потом попросили сделать, скажем, 20 приседаний, и провели те же измерения повторно. Понятно, что реакция сердечно-сосудистой системы каждого человека будет весьма индивидуальной, причем результаты измерений, полученные «после того», будут находиться в причинной и «исторической» связи с исходным состоянием «до того», т.е. в зависимости от них.

В этом случае при обнаружении ненулевой разницы выборочных средних результатов «до того» и «после того» также рассчитывается критерий

Однако, величина рассчитывается иным образом:

- это разница парных вариант: , квадрат которой, как видно из формулы, суммируется по всем парам.

Величина в данном случае зависит от того, насколько однородно будет изменяться измеряемая характеристика у разных объектов исследуемой группы. Действительно, если различие в каждой паре значений, полученных «до» и «после», будет нестабильно ( примерно с одинаковой вероятностью будет иметь то положительный, то отрицательный знак) или малосущественно (достаточно часто будут появляться нулевые парные разницы), то разница выборочных средних , естественно, будет стремиться к нулю. При этом непременно окажется больше нуля, даже в том крайнем случае, когда среди всех сравниваемых пар будет только одна единственная ненулевая разница. Напротив, если все парные различия будут иметь один и тот же знак (будут однонаправленными), то выборочные средние «до» и «после» существенно разойдутся на числовой оси и, соответственно, величина d окажется достаточно велика. Это приведет к снижению и, следовательно, увеличению критерия Стьюдента.

Проверка справедливости гипотез при этом производится так же, как и для независимых выборок:

- если , то различие выборочных средних признается статистически значимым;

- если , разница признается незначимой.

Различие лишь в том, что число степеней свободы для определения табличного значения в данном случае составляет , где n – число сравниваемых пар.

Упомянем также о ситуации, когда для установления достоверности различия средних результатов никаких расчетов с применением критерия Стьюдента просто не требуется. Это возможно в ситуации, когда максимальное значение одного из сравниваемых выборочных вариационных рядов заведомо меньше минимального значения другого вариационного ряда. Иными словами, значения обоих выборок занимают совершенно разные, не накладывающиеся друг на друга даже частично области на числовой оси. Если такое имеет место, то критерий Стьюдента лишь подтвердит заведомую достоверность различий средних значений сравниваемых выборок. Однако, такая «экспресс-оценка» достоверности возможна лишь в том случае, если сравниваемые выборки достаточно представительны – имеют объем порядка полутора десятков значений или более.

Критерий Фишера – критерий сравнения выборочных дисперсий.

На практике часто встречается ситуация, когда факторы, влияющие на состояние изучаемых объектов, вызывают не только и даже не столько сдвиг этих характеристик на числовой оси, сколько усиливают или ослабляют их межиндивидуальное разнообразие.

Количественным индикатором этих изменений является различие выборочных дисперсий. Однако, как всякая выборочная числовая характеристика, выборочная дисперсия – величина случайная. Следовательно, наблюдаемое различие дисперсий тоже может оказаться случайным. Таким образом, к выборочным оценкам дисперсии полностью приложимы все те рассуждения, о которых шла речь при обсуждении источников различия выборочных средних.

Дисперсия имеет распределение (распределение Пирсона), поэтому для ее анализа критерий Стьюдента неприменим. Для того, чтобы приблизить распределение к нормальному рассматривают разность логарифмов сравниваемых дисперсий, которая обозначается символом Z:

Величина Z имеет нормальное распределение и, соответственно, к ней может быть применен критерий Стьюдента.

На практике часто рассматривают отношение F большей из сравниваемых дисперсий к меньшей (следуя свойствам логарифмов):

Полученная величина критерия сравнивается с критическим табличным значением. И также как в предыдущих рассуждениях, нулевая гипотеза либо отвергается и различие выборочных дисперсий считается статистически достоверным, либо делается вывод, что нулевую гипотезу отвергнуть нельзя и разница выборочных дисперсий находится в границах практически возможных случайных колебаний.

Если на независимых выборках была обнаружена достоверность различия дисперсий, то их средние значения нельзя сравнивать по t- критерию Стьюдента!

Рассмотренный метод сравнения мер вариации и его модификации являются основой чрезвычайно мощного и информативного метода математико-статистического анализа данных, получившего название дисперсионный анализ.

Непараметрические критерии

Параметрические критерии обладают высокой информативностью, поскольку позволяют не только обнаружить достоверность различий, но и точно, конкретно демонстрируют их характер и степень. Однако, при всех несомненных достоинствах параметрические критерии обладают и рядом существенных недостатков – ограничениями их применимости. Самый серьезный из них - допущение о нормальности распределения сравниваемых величин. Втрое ограничение - непригодность таких критериев к выборкам малого объема (<10-15 измерений). На таких выборках параметры распределения (средние, дисперсии) могут резко измениться от добавления или убавления даже одного единственного числа. Третье – высокая чувствительность к артефактам, которые оказывают сильное слияние на параметры распределения, вызывая сдвиг средних значений в ту или иную сторону. В результате может «всплыть» различие, которого на самом деле нет или наоборот – оказаться «зашумленной» действительная разница. Влияние артефактов особенно велико на малых выборках. Специфика же медицинской работы состоит в том, что из-за сложности исследуемых процессов и явлений они, как правило, имеют дело именно с выборками малого объема, имеющими неизвестный закон распределения, часто полученными в результате достаточно грубых измерений, «нашпигованными» артефактами.

Для извлечения содержательной информации из числовых массивов такого рода были разработаны непараметрические критерии. Это критерии, применение которых не требует пересчета массивов исходных данных в компактно заменяющие их параметры распределения - средние значения, дисперсии или стандартные отклонения и т.д. – и их последующее сравнение.

Как следствие, не только теряет силу требование «нормальности» генеральной совокупности, но и, более того, закон распределения сравниваемых величин вообще не играет никакой роли. Особые, достаточно простые, способы преобразования исходных данных делают эту группу критериев еще и практически нечувствительными к артефактам. В результате, непараметрические критерии успешно работают даже на чрезвычайно малых выборках при наличии грубых измерений и грубых ошибок.

Рассмотрим критерии Манна-Уитни и Вилкоксона.

Критерий Манна-Уитни и критерий Вилкоксона – критерии ранговые, т.е. основанные на сравнении сумм рангов, полученных тем или иным образом из сравниваемых выборочных распределений. В данном конкретном случае рангом называется порядковый номерчисла в ранжированном (расставленном в порядке возрастания) массиве данных – чем больше число, тем выше его ранг. При этом, если числа не повторяются, то их ранги в точности соответствуют их порядковым номерам. Если же некое число повторяется несколько раз, то всем им приписывается средний ранг. Продемонстрируем, как все это происходит и выглядит. Допустим, мы получили следующий вариационный ряд данных x:

5.6 11.7 -3.5 6.3 8 7.4 0.5 8 3 3.1 15.2 3.1 8 6.7 111 4.4

Здесь числа представлены в том порядке, как они были получены.

Расставим их в порядке возрастания и припишем порядковые номера, а также ранги R:

Из приведенного примера хорошо видно, что при ранжировании происходит «линеаризация данных» - сглаживание их резких колебаний за счет того, что ранг числа не зависит от его абсолютной величины и разницы с соседними вариантами. Например, последнее число 111 чуть ли не на порядок превышает ближайшее к нему 15.2. Тем не менее, ранг его всего на 1 выше, чем у предпоследнего числа.

Ранговые критерии для сравнения выборочных совокупностей делятся на две группы – для независимых и зависимых выборок.