Метод Даламбера для задачи о колебаниях неограниченной струны
Найти функцию , удовлетворяющую уравнению и начальным условиям (задача Коши):
Общий интеграл уравнения имеет вид ;
При будем иметь
Откуда находим или
После подстановки в выражение для получим:
, где .
Легко видеть, что это следует из начальных условий
В итоге получаем формулу, называемую формулой Даламбера:
Раздел 3. Метод Фурье
Метод Фурье является одним из распространенных методов решения уравнений с частными производными и позволяет получить решение задачи в формульном или в общем виде. На практике часто используют приближенные методы решения задач: асимптотические или численные.
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все её производные входят в уравнение в первой степени и если оно не содержит членов с произведениями этих величин.
Так, например дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, линейное и однородное относительно неизвестной функции
- линейный дифференциальный оператор,
уравнение называется неоднородным.
В основе решения таких уравнений лежит принцип суперпозиции:
Если каждая из функций …
Является решением однородного линейного уравнения,
то их линейная комбинация
тоже является решением этого уравнения. произвольные const.
если тогда
В случае бесконечных рядов принцип суперпозиции допускает обобщение.
также является решением этого уравнения, если он сходится к некоторой функции и допускает почленное дифференцирование.
Обобщенный принцип суперпозиции:
Если каждая из функций является решением однородного дифференциального уравнения, то ряд
тоже является решением этого уравнения. произвольные const.
Проверка: тогда .
В случае линейного уравнения в частных производных число слагаемых можно выбрать бесконечно большим, тогда из бесконечно большого множества всегда можно выбрать решения, удовлетворяющие произвольным дополнительным условиям.
Может оказаться, что решение уравнения в частных производных имеет вид то есть зависит от некоторого параметра изменяющегося в конечном или бесконечном промежутке ,то есть при функция является решением уравнения .
cледовательно, любая произвольная функция является решением
Сумма бесконечного сходящегося ряда может быть заменена определенным интегралом:
Этот интеграл тоже является решением уравнения .
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеющее бесконечное множество решений в виде:
Причем все решения получаются из обыкновенных дифференциальных уравнений подстановкой в
Тогда, чтобы переменные в уравнении разделялись, оператор Lдолжен иметь определенную структуру.
Переменные разделяются, если уравнение имеет вид:
L1зависит только от х1…Lпзависит только от хп, тоесть каждая из частей Li
зависит от одной переменной хi.
Например:
.
Рассмотрим методику разделения переменных на примере:
Задано уравнение в виде: ,
решение уравнения
подставим решение в исходное уравнение
Первое слагаемое зависит от х1 , а второе слагаемое зависит от х2 равенство возможно только в том случае когда
Исходное уравнение распадается на два уравнения:
Переменные разделены, параметр разделения.
Задано уравнение в виде:
решение уравнения
Исходное уравнение распадается на два уравнения:
3.2. Задача Дирихле для круга. Интеграл Пуассона.
3.3. Задача Штурма-Лиувилля.
3.4. Фундаментальная система решений задачи Штурма-Лиувилля. Разложение в ряд по собственным функциям.
3.5. Метод Фурье для случая двух переменных.
Формула Грина. Теорема о среднем, принцип максимума. Функция Грина и ее применение к решение краевых задач.
Фу́нкция Гри́на используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Названа в честь английского математика Джорджа Грина (англ. George Green), который первым развил соответствующую теорию в 1830-х гг.
Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.
Функция Грина G(x, s) линейного дифференциального оператора L = L(x), действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства Rn в точке s — это любое решение уравнения
где — это дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида
Функция Грина — это обратный оператор к . Поэтому ее нередко символически обозначают как .
Если ядро L не тривиально, то функция Грина не единственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий и/или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Следует помнить, что, вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.
Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантово механических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:
что не меняет существенно её свойства.
Если оператор трансляционно инвариантен, то есть если L имеет постоянные коэффициенты по отношению к x, то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора
В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем.
Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид , функция Грина также определяется с учётом этого коэффициента, то есть, по определению тогда она есть решение уравнения[1]
.
В этом случае решение исходного неоднородного уравнения с произвольной функцией в правой части записывается как
.
Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 2194;