Взаимно однозначные соответствия

В математике изучают различные виды соответствий. Это не случайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем нас мире, многообразны. Для учителя, обучающего математике младших школьников, особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия.

Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества X сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества X.

Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий.

Пример 1. Пусть Х - множество кружков, У- множество квадратов и соответствие между ними задано при помощи стрелок (рис. 6).

Рис.6

Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества X сопоставляется единственный квадрат из множества Y и каждый квадрат из Y соответствует только одному кружку из множества X.

Пример 2. Пусть Х- множество действительных чисел, Y- множество точек координатной прямой. Соответствие между ними таково: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на" прямой соответствует только одному числу.

В математике взаимно однозначное соответствие между элементами множеств X и Y часто называют взаимно однозначным отображением множества X на множество Y.

Понятие взаимно однозначного соответствия позволяет определить отношение равномощности множеств.

Определение. Множества X и Y называются равномощными, если между элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если множества Х и Y равномощны, то пишут X ~ Y.

Нетрудно увидеть, что множества, которые были рассмотрены в примерах 1 и 2, равномощны.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют ещё равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между их элементами взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов (рис. 6).

Понятие равночисленности множеств лежит и в основе определения отношений «больше на ...» и «меньше на ...». Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно однозначное соответствие между множеством X, в котором 4 элемента, и подмножеством Y, другого множества Y, в котором 6 элементов (рис. 7), и делают вывод: тре-

угольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.

Рис.7

Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества. Приведем примеры таких множеств.

Пример 3. Пусть X-множество точек отрезка АВ, Y- множество точек отрезка CD, причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (рис. 78), то множества точек отрезка АВ и CD равномощны.

Пример 4. Рассмотрим множество N натуральных чисел и множество Y- четных натуральных чисел. Они равномощны, так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие:

На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество В, что между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества.

Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его называют счетным. Любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано в примере 4). Так, счетно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются такие множества всех целых чисел, всех рациональных.

Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством, не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.

Дата добавления: 2017-02-13; просмотров: 10292;