Динамическое гашение колебаний

Рис. 12.3

Задача ставится следующим образом: выяснить возможность снижения амплитуды колебаний массы "m₁" за счет введения дополнительной массы "m₂" , упруго соединенной с массой m₁.С целью упрощения задачи полагаем, что система недиссипативна, т.е. рассеяние энергии в упругих связях не происходит.

Дифференциальные уравнения, описывающие движения масс "m_l" и "m₂", могут быть записаны в виде:

(12.11)

Поскольку система недиссипативна, то колебания отдельных масс либо совпадают по фазе с внешней возмущающей силой, либо находятся с ней в противофазе (сдвиг 180 градусов).

Частное решение системы (12.11) может быть представлено в виде:

(12.12)

где - коэффициент распределения амплитуд колебаний.

Величину определяем, подставив соотношение (12.12) во второе уравнение (12.11)

(12.13)

Для искомого периодического решения системы (12.11) справедливо равенство:

(12.14)

Подставляя (12.14) в первое уравнение системы (12.11) получим:

(12.15)

Решение системы линейных дифференциальных уравнений может быть сведено к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка вида (12.15):

Нетрудно получить

(12.16)

Знаменатель дроби может обращаться в нуль при изменении параметров системы, т.е.

Данное уравнение является частным уравнением системы, у которого два корня и , являющиеся частотами собственных колебаний системы. В нуль может обращаться и числитель дроби в правой части соотношения (12.16),т.е.

(12.17)

Обозначим эту частоту через . Очевидно,

При вьшолнении соотношения (12.17) амплитуда А колебаний массы m_l обращается в нуль, и, следовательно, масса m_l становится неподвижной.Это явление называется антирезонансом,а частоту , при которой это происходит - частотой антирезонанса.

Частота антирезонансасовпадает с частотой собственных колебаний массы m₂ при неподвижной массе m_l. Неподвижность массы m_l в точке антирезонанса гарантируется только выполнением соотношения (12.17).

Определим амплитуду колебаний массы m₂. Из соотношения (12.16) и (12.17) получим:

При

Очевидно, что если масса m₂ оказывается малой, то при фиксированной жесткость также мала и большой оказывается амплитуда . Чтобы её уменьшить, приходится увеличивать массу m₂.

Контрольные вопросы к лекциям N10-12

1. В чём состоит задача уравновешивания?

2. Какие виды неуравновешенности механизмов Вы знаете? Обьясните каждый из них.

3. Сформулируйте условия полного уравновешивания механизмов машины.

4. Что является мерой статической и динамической неуравновешенностей?

5. Расскажите о методе замещающих масс при уравновешивании.

6. С какой целью и как устанавливаются корректирующие массы (противовесы)?

7. Как произвести полное статической уравновешивание (шарнирного четырёхзвенника), кривошипно-ползунного механизма?

8. Сформулируйте, что такое статическая, моментная и динамическая неуравновешенность Вотора?

9. В чём состоят причины дисбаланса вращающихся деталей?

10. На каком принципе работают станки для динамической балансировки?

11. В чём состоит вибрационная защита машин? Какие методы виброзащиты Вы знаете?

12. Какой метод виброзащиты называется виброизоляцией? В чём суть этого метода? В каких случаях он эффективен?

13. Что такое динамическое гашение колебаний? В каких случаях оно применяется?