Способ концентрических сфер

Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их полумеридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям.

Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 53 а, б показано пересечение сферы цилиндрической и конической поверхностями вращения, соответственно. На рис. 53 в приведены пересекающиеся соосные цилиндрическая и коническая поверхности вращения.

а б в

Рис. 53 Пересечение соосных поверхностей вращения

Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер − сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих условий:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;

в) плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа).

Рассмотрим построение линии пересечения конических поверхностей вращения (рис. 54). Поверхности и их расположение удовлетворяют приведенным выше условиям.

Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точки линии пересечения. Точки А, В, K и L, а также E, F, С и D – это точки, принадлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентрических сфер или с помощью плоскостей посредников Σ(Σ₂) и Δ(Δ₁).

Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Θ(Θ₂) с центром в точке О(О₂) пересекает конические поверхности по окружностям, которые на П₂ проецируются в отрезки и (проекции двух других окружностей не показаны). Точки 5₂ = 6₂ их пересечения являются фронтальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения поверхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.

Горизонтальные проекции точек 5 и 6 находим из условия принадлежности точки поверхности. В данном случае используется принадлежность точек окружности mⁱ на «вертикальной» конической поверхности. Точки 5₂ и 6₂ находятся по линии проекционной связи на .

Аналогично можно построить любое количество точек искомой линии пересечения. Однако нужно иметь в виду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи.

Рис. 54 Применение способа вспомогательных концентрических сфер

Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер. Радиус сфер посредников изменяется в диапазоне R_max ≥ R ≥ R_min, где R_min – минимальный радиус сферы, R_max – максимальный радиус сферы. Сфера минимального радиуса R_min – это сфера, которая касается одной поверхности и пересекает другую. На рис. 54 такая сфера касается «вертикальной» конической поверхности. С помощью сферы минимального радиуса построены точки 1₂ = 2₂ и 3₂ = 4₂. Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 и 4 построены аналогично точкам 5 и 6.

Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 54 – сфера R_max =[O₂L₂].

Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем расположение точек относительно контуров поверхностей. Так, относительно П₁, видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П₁ не влияет). Горизонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией.

Точки А, В и K, L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П₂. Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 54 совпадают.