Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера)

Рассмотрим равновесие жидкости (рис.11). Возьмем точку и выделим около нее параллелепипед со сторонами , , . Обозначим внешние силы, отнесенные к единице массы через . Внешними силами здесь будут:

- объемные, пропорциональные массе параллелепипеда;

- силы гидростатического давления, действующие на грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости.

Рисунок 11 – К выводу уравнений Эйлера

Рассмотрим сначала силы, действующие на жидкий параллелепипед по оси X.

Проекция объемных сил на ось X будет равна:

;

Следовательно, проекции объемных сил на все оси:

Гидростатическое давление в точке В обозначим , а в точке С - через . Если давление изменяется по линейному закону и непрерывно, тогда:

;

где - градиент гидростатического давления;

Р - давление в точке А.

Силы, действующие на грани равны:

;

Составим уравнение равновесия исследуемого нами жидкого объема относительно оси X:

Уравнение равновесия после подстановки и преобразования сможем записать в виде:

Окончательно уравнение равновесия относительно оси X будет иметь вид:

Аналогично получим уравнение равновесия относительно осей Y и Zи запишем полную систему уравнений, которые называются уравнениями Эйлера.

Впервые они были выведены в 1775 г. и выражают закон распределения гидростатического давления в дифференциальной форме.

Для дальнейшего преобразования, умножим каждое из уравнений системы на , , , соответственно

а, сложив их почленно, получим следующее выражение:

Левая часть представляет полный дифференциал давления функции . А т.к. левая часть - полный дифференциал функции, то и правая тоже. Только в этом случае уравнение может иметь смысл. Для этого необходимо, чтобы существовала функция , производные которой были равны:

; ; .

Функция и обратная ей функция называются потенциальными. Следовательно, поле массовых сил потенциальное или , где функция выражает потенциальную энергию поля массовых сил (сил тяжести и инерции).

Интегрируя функцию для несжимаемой жидкости, получаем:

или ,

где С - постоянная интегрирования.

Для двух точек одного и того же объема данной однородной несжимаемой жидкости уравнение записывается в виде:

Дадим определение поверхности равного давления: это поверхность, проведенная в покоящейся жидкости таким образом, что давление во всех ее точках одинаково, т.е. . Поверхности равного давления обладают следующими основными свойствами: