Экстремум функции двух переменных.
Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)< f(x0,y0) или ( f(x,y)> f(x0,y0)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Рис.1 -точка максимума Рис.2 -точка минимума
Сформулируем необходимые и достаточные условия существования экстремума:
Определение Точка называется точкой минимума (максимума) функции z=f(x;y, если существует такая окрестность точки , что для всех точек M(x;y) из этой окрестности выполняется неравенство f или f .
Точки минимума и максимума функции z= .называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).
Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .
Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если – точка экстремума дифференцируемой функции z= ., то ее частные производные и в этой точке равны нулю: и
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция z= . может иметь экстремум, а может и не иметь.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция z= .: а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и
; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка
. Тогда, если , то функция z= .: в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция z= .: в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.
При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:
1. Найти частные производные первого порядка: и .
2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка: , , .
4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.
5. Найти экстремумы функции.
Пример 1. Найти экстремумы функции z= .
Решение. 1. Находим частные производные и :
, .
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
Из первого уравнения системы находим: y= . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим или , x( ,
Откуда .
Находим значения y, соответствующие значениям .
. Подставляя значения . в уравнение , получим: .
Таким образом, имеем две критические точки: и .
3. Находим частные производные второго порядка:
; ; .
4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки имеем:
, , .
Так как
,
то в точке экстремума нет.
В точке .:
, ,
и, следовательно,
.
Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке . функция имеет минимум, так как в этой точке и A>0.
5. Находим значение функции в точке .:
.
6. Условный экстремум
В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть z=f(x;y) – функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию g(x;y)=C, называемому уравнением связи.
Определение 8. Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции z=f(x;y), если существует такая окрестность точки , что для всех точек M(x;y) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g(x;y), выполняется неравенство f( , (f( )
Если уравнение связи g(x;y)=C можно разрешить относительно одной из переменных (например, выразить y через x: y= , то задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют найденное значение y= , в функцию двух переменных. В результате получают функцию одной переменной x: z=f(x, . Ее экстремум и будет условным экстремумом функции z=f(x;y).
Пример 7. Найти экстремумы функции z=3 -7 при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи y-3x= -1.
Решение. Из уравнения связи находим функцию y=3x-1 и подставляем ее в функцию z. Получим функцию одной переменной
или z(x)=3 - 6x-5
Находим экстремум данной функции:
6x - 6= 0, x=1 - критическая точка первого рода (точка, подозрительная на экстремум). Так как то в точке x=1 функция z(x) имеет локальный минимум. Из уравнения связи находим: y=3 . Следовательно, функция
в точке M91;2) имеет условный минимум:
.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 8443;