Исследование функций

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:
- найти область определения и область значений;
- выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность;
- найти точки пересечения с осями координат;
- определить участки знакопостоянства.
2. Асимптоты:
- найти вертикальные асимптоты , если
- найти наклонные асимптоты: y=kx+b,
Если k=0, b - любое число, то y=b – горизонтальные асимптоты.
3. Исследование с помощью y’ - найти критические точки, те. точки в которых или не существует;
- определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых и убывания функции – ;
- определить экстремумы: точки, при переходе через которые меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.
4. Исследование с помощью :
- найти точки, в которых или не существует;
- найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых и вогнутости – ;
- найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые меняет знак.
5. Построение графика функции.
Рекомендации по применению плана исследования функции:
1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

, то естьпри дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.***************************

Примеры исследования функции:

20.

1)

2) Функция нечетная:
.
3) Асимптоты.
x-1, x+1 – вертикальные асимптоты, т.к.


Наклонная асимптота y=x

=

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

21.
1)
2) Функция нечетная:

3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные:

наклонные асимптоты

4) – функция возрастает.

5)
– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

22.
1)
2) Функция общего вида
3) Асимптоты

– наклонных асимптот нет

y=0 – горизонтальная асимптота при
4)

– точка перегиба

Схематичный график данной функции:

23.
1)

2) Асимптоты.

– вертикальная асимптота, т.к.

– наклонных асимптот нет
, – горизонтальная асимптота
Схематичный график данной функции:

24.
1)
2) Асимптоты
x=0 – вертикальная асимптота при , т.к.

– наклонных асимптот нет
y=1 – горизонтальная асимптота
3) < 0 – функция убывает на каждом из промежутков.
Схематичный график данной функции:

2.4.3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоваться схемой:
1. Найти производную функции .
2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.
3. Найти значение функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах и выбрать из них наибольшее и наименьшее .
Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.
25. на промежутке
1)
2) – критические точки
3) ,
–
–

26. на промежутке .

Прозbводная не существует при , но 1 не принадлежит данному промежутку. Функция убывает на промежутке , значит, наибольшего значения нет, а наименьшее значение .
7 8 9 ... 13

Задание для самостоятельной работы
Исследовать функцию на экстремумы.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
Задача 16. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y) в данной замкнутой области.
1. Z= в прямоугольнике
2. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой
3. в прямоугольнике

4. в области, ограниченной параболой
и осью абсцисс.
5. в квадрате
6. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой
7. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой
8. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой
9. в области, ограниченной параболой
и осью абсцисс.
10. в области, ограниченной параболой
и осью абсцисс.

Пример. Найти предел . (куда её?)

Так как 1 – cosx = при х®0, то .

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум.

Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

, т.е.

Тогда

По определению:

т..е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x₁) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x₁) £ 0.

А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x₁) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =

y y

x

x

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

водной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство.

Пусть

По теореме Лагранжа имеем: f(x) – f(x₁) = f¢(e)(x – x₁), где x < e < x₁.

Тогда: 1) Если х < x₁, то e < x₁; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x₁)<0, следовательно

f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

2) Если х > x₁, то e > x₁ f¢(e)<0; f¢(e)(x – x₁)<0, следовательно

f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

Так как ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x₁) в любых точках вблизи х₁, т.е. х₁ – точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично. Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.