Решение уравнений Максвелла для установившегося переменного электромагнитного поля.
Полагая в 1 уравнении Максвелла = 0, мы, тем самым, сужается область рассмотрения э/м полей установившимися процессами. Пусть отсутствуют объемные заряды δ и сторонние поля.
В этом случае система уравнений Максвелла имеет вид:
rot =
. (22)
rot =
. (23)
div = 0. (24)
div = 0. (25)
Переменные электромагнитные поля, описываемые этими уравнениями, могут быть как периодическими полями, так и апериодическими полями.
В индуктивных методах электроразведки изучаются в основном периодические поля. Переменные электромагнитные поля, с которыми чаще всего имеют дело в электроразведке, изменяются по законам, близким к законам гармонических колебаний.
Всякий периодический процесс, согласно преобразованиям Фурье, разлагается на сумму гармонических процессов, которые можно представить в виде гармонических колебаний (гармоник):
a·sin(ωt + φ) или a·cos(ωt + ψ), (26)
где а – амплитуда соответствующей гармоники, ω – круговая частота (ω = 2πf), t – время, φ и ψ – начальные фазы.
Аргументы у синуса и косинуса, т.е. (ωt + φ) и (ωt + ψ), называют фазами колебаний.
Поскольку представление гармонического колебания выражениями, содержащими синус и косинус равноценны, то обычно рассматривают выражение содержащее косинус. Вместо использования тригонометрических функций в записи колебания удобнее перейти к комплексной форме записи колебания.
Согласно формуле Эйлера:
, (27)
всякий гармонический процесс (колебание) можно записать в виде:
(28)
Вещественная часть комплексного числа Re( ) представляет собой гармоническое колебание, записанное в тригонометрической форме, т.е.
. Поэтому показатель степени экспоненты можно выбрать с любым знаком. Для удобства возьмем минус. Тогда гармонически изменяющийся процесс представляется в виде:
, (29)
где амплитуда М0 может быть как действительной, так и комплексной величиной.
Комплексная запись гармонического процесса позволяет пользоваться удобным символическим методом вычислений, который заключается в том, что для взятия производной n – го порядка по времени от функции достаточно эту функцию М умножить n раз на величину (-iω).
Например:
, (30)
, (31)
Учитывая вышесказанное, гармонически меняющееся электромагнитное поле можно написать в виде:
, (32)
. (33)
Тогда система уравнений Максвелла для комплексных амплитудных векторов и
примет вид:
rot =
+ (-iω)
= (
-
=
, (34)
rot =
=
, (35)
div = 0, (36)
div = 0. (37)
Чтобы от комплексных амплитудных векторов и
в системе Максвелла перейти к полным выражениям величины поля, надо их умножить на множитель е-iωt.
В системе уравнений Максвелла символами и
обозначены комплексная электропроводность и комплексная индуктивность (комплексная магнитная проницаемость).
=
-
, (38)
=
. (39)
Применим операцию div к уравнениям (34) и (35), т.е. к уравнениям: rot =
и rot
=
В результате, получим:
div rot =
, (40)
div rot =
. (41)
Воспользуемся формулами:
div = (
·
) =
+
+
; (42)
rot = (
-
)
+ (
-
)
+ (
-
)
. (43)
В результате получим:
div rot =
(
-
) +
(
-
) +
(
-
) =
-
+
-
+
-
= 0. (44)
Или запишем в виде:
div rot =
= 0, (45)
div rot =
= 0, (46)
Откуда следует, что = 0;
= 0. (47)
Таким образом, из первого и второго уравнений системы Максвелла, получаем, соответственно, 3 и 4 уравнения той же системы.
Следовательно, достаточно найти решения уравнений системы (34) и (35), т.е.
rot =
, (48)
rot =
. (49)
Эти уравнения являются основными уравнениями гармонического поля в однородной среде.
Приведем уравнения (48) и (49) к форме удобной для их решения.
Для этого применив к ним вихревую дифференциальную операцию, т. е.
rot rot =
, (50)
rot rot =
. (51)
Подставим в правую часть уравнений (50) и (51) значения rot и rot
из выражений (48) и (49).
В результате получим:
rot rot =
, (52)
rot rot =
, (53)
Введем обозначение:
=
2. Где
=
- волновое число.
Таким образом, получим:
rot rot =
2
, (54)
rot rot =
2
. (55)
Так как операция rot, дважды примененная к вектору равна:
rot rot = grad div
- Δ
, (56)
то выражения (54) и (55) примут вид:
rot rot = grad div
- Δ
, (57)
rot rot = grad div
- Δ
. (58)
Так как div = 0 и div
= 0, то получим: (59)
rot rot = - Δ
, (60)
rot rot = - Δ
. (61)
После подстановки уравнений (60) и (61) в систему уравнений (54) и (55) получим волновые уравнения для магнитного и для электрического
полей вида:
Δ = -
2
, (62)
Δ = -
2
. (63)
Оба волновые уравнения и для и для
идентичны.
Волновые уравнения (62) и (63) являются векторными уравнениями.
Магнитные и электрические компоненты переменного электромагнитного поля являются компонентами единого электромагнитного поля. Они взаимно зависимы и связаны посредством основных уравнений поля:
rot =
, (48)
rot =
. (49)
Вместо шести уравнений достаточно решать 3 волновых уравнения для трех независимых компонент вектора напряженности магнитного поля или вектора напряженности электрического поля
.
Рассмотривается вектор напряженности магнитного поля , который удовлетворяет волновому уравнению:
Δ = -
2
(64)
Физический и геологический смысл волнового числа .
Волновое число имеет очень большое значение в индуктивных методах разведки.
Ранее определили, что 2 =
·
, (65)
где =
-
- комплексная электрическая проводимость,
=
- комплексная индуктивность.
Тогда
2 =
·
= (
-
)
=
-
=
= (
), (66)
Откуда =
, (67)
где ω = 2πf, С – скорость света в вакууме.
Рассмотрим физический смысл величины , (68)
входящей в выражение для волнового числа (67).
Вернемся к выражению для 1-го уравнения Максвелла в основной системе уравнений Максвелла (17).
rot =
+
или (69)
rot =
+
. (70)
В случае гармонически меняющегося поля 1-ое уравнение Максвелла имеет вид:
rot =
- iω
=
. (71)
В последнем выражении 1 слагаемое - плотность тока проводимости. Второе слагаемое должно иметь ту же размерность, что и первое, т.е. должно являться плотностью тока.
Максвелл назвал его током смещения (связанным с процессами, определяемыми диэлектрическими свойствами среды).
. (72)
Тогда выражение (71) можно записать в виде:
rot =
. (73)
Итак, имеем:
, (74)
. (75)
Найдем их отношение:
, (76)
Получили второе слагаемое под квадратным корнем в выражении волнового числа (67).
Рассмотрим квадрат волнового числа:
2 =
(
).
В этом выражении 2-ое слагаемое есть отношение токов проводимости к токам смещения.
Рассмотрим два случая.
1. Если среда имеет очень высокую проводимость, т.е. γ >> 1,
следовательно, >> 1. Тогда в выражении
2 =
(
)
можно пренебречь 1 в скобках, в результате получим:
2 =
= i
, (77)
приняв ω = 2πf, получим:
2 = i
= i
. (78)
Основное значение в изучаемом электромагнитном поле будут иметь токи проводимости.
2. Если в среде γ – очень малая величина, то << 1 и с достаточной степенью точности
2 =
. В этом случае главную роль в изучаемом электромагнитном поле будут играть токи смещения.
В частном случае, в идеальном диэлектрике, когда γ = 0, получим точное значение:
=
. (79)
В воздухе, где μ = 1, ε = 1, получим:
=
. (80)
Подсчитывая значение для различных частот можно определить, в каких случаях основную роль играют токи проводимости, а в каких – токи смещения.
=
=
. (81)
При низких частотах (до 104 герц) во всех породах преобладают токи проводимости. Лишь при частотах в миллионы герц влияние токов смещения становится заметным во всех породах.
Дата добавления: 2021-05-28; просмотров: 382;