Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

1 2 34

Определение 4. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

, (3.16)

где , , и - заданные функции, причем . Здесь, для удобства записи использованы обозначения , .

Если функции , , постоянны, то уравнение (3.16) называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Если при всех значениях , то уравнение называют однородным.

Рассмотрим однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

, (3.17)

где , , - постоянные, причем .

Решение уравнения (3.17) будем искать в виде:

где - некоторое число.

Учитывая, что , из (3.17) имеем:

Или

. (3.18)

Уравнение (3.18) называется характеристическим уравнением для уравнения(3.17). Корнями характеристического уравнения служат

, . (3.19)

Нужно рассмотреть три случая: величина больше нуля, равна нулю или меньше нуля.

Случай 1. Пусть , т.е. и действительны и различны. Тогда дифференциальное уравнение имеет два разных решения: и . Общее решение записывается в виде:

, (3.20)

где и - произвольные постоянные. Чтобы найти и нужно знать два условия, которым должно удовлетворять решение , например, и .

Случай 2. Пусть . В этом случае корни характеристического уравнения равны между собой: . Одним решением (3.17) является функция , а другим . Общее решение имеет вид:

. (3.21)

Случай 3. Пусть . В этом случае корни характеристического уравнения (3.18) представляют собой комплексно-сопряженные числа

и .

Общее решение уравнения (3.17 запишется в виде:

, (3.22)

где , .

Пример 9. В благоприятных условиях выращивают две популяции мух. Для популяции I удельная скорость роста составляет 0.1, если время выражается в днях. Для популяции II аналогичная скорость составляет 0.08. Определим как суммарную численность двух популяций в момент . Найти дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет .

Решение: По условию задачи - суммарная численность двух популяций мух. Учитывая, что - есть удельная скорость роста, то для имеем уравнение