Метод разделения переменных

Общий вид нелинейного уравнения следующий:

, (3.10)

где - заданная непрерывная функция.

Биологическая интерпретация уравнения (3.10) заключается в том, что скорость роста популяции является функцией времени и размера популяции. В общем случае не удается отыскать формулу, дающую в явном виде решение уравнения(3.10). Однако имеются некоторые специальные типы нелинейных уравнений первого порядка, решение которых можно найти в явном виде. Одним из таких уравнений является уравнение с разделяющимися переменными.

Будем говорить, что переменные и в уравнении (3.10) разделяются, если:

,

где - представляет собой функцию только от , а - функцию только от . В этом случае уравнение (3.10) записывается в виде:

. или . (3.11)

В такой форме левая часть интегрируется по переменной , а правая часть интегрируется по переменной . Выполняя эти два интегрирования, приходим к общему решению

. (3.12)

Если и достаточно простые, то можно найти эти интегралы и получить общее решение в явном виде.

Пример 8. Логистический закон развития.

Скорость роста популяции в расчете на одну особь представляет собой разность между средней рождаемостью и средней смертностью. Будем считать, что средняя рождаемость выражается положительной постоянной , не зависящей от времени и размера популяции . Допустим также, что средняя смертность пропорциональна размеру популяции и поэтому равна , где - положительная постоянная. Это увеличение смертности с ростом популяции может происходить за счет конкуренции за доступные пищевые ресурсы.

В данном случае, популяция подчиняется уравнению .

Или

. (3.13)

Разделяя переменные, получим:

.

Интегрируя, имеем:

.

Учитывая, что

имеем:

; ;

; ; .

Разрешая последнее уравнение относительно , находим:

;

. (3.14)

Если есть размер начальной популяции, то

; ; .

Подставив последнее в(3.14), получим:

. (3.15)

Процесс роста, описываемый функцией (2.15) называется логистическим ростом, а уравнение (2.13)- логистическим уравнением.