Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
, (3.1)
где , - заданные функции времени .
Если при всех , то уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент постоянный, то (3.1) называют уравнением с постоянными коэффициентами.
Прежде чем решать уравнение (3.1) отметим свойство линейных однородных уравнений. Пусть и - решения уравнения . Тогда также является решением при любых значениях постоянных и . Действительно, подставив в (3.1) получим:
Рассмотрим однородное уравнение
. (3.2)
Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде:
или .
Учитывая, что , имеем: .
Интегрируя обе части последнего выражения, получим:
, , ,
. (3.3)
Формула (3.3) дает решение уравнения (3.2) с начальным условием .
Пример 4. Популяция бактерий увеличивается таким образом, что удельная скорость роста в момент (время выражается в часах) составляет величину . Пусть начальная популяция . Какой будет популяция после 12 ч. роста?
Решение: По условию удельная скорость равна . Это однородное линейное уравнение первого порядка при . Интегрируя его, получаем:
.
, .
Размер популяции после 12ч. роста выражается величиной
.
Пример 5. Модель сезонного роста.
Дифференциальное уравнение первого порядка , где - положительная постоянная, можно рассматривать как простейшую модель сезонного роста. Скорость роста популяции становится то положительной, то отрицательной, и популяция то возрастает, то убывает. Это может вызываться такими сезонными факторами, как доступность пищи.
Заметим, что здесь .
Так как , то общее решение записывается в виде: .
Полагая , получим , т.е. размер популяции в момент есть . Максимальный размер популяции, равный , достигается при , , ,…, когда . Минимальный размер, равный , достигается при , , ,…, когда . В этой модели размер популяции колеблется от до с периодом . Моменты времени , , ,… можно считать серединами сезонов наибольшей доступности пищи (летних сезонов),а моменты , , ,… соответствует серединам сезонов наибольшей нехватки пищи (зимних сезонов). Продолжительность одного года соответствует ед. времени.
Рис. 2.1
Исследуем теперь неоднородное уравнение(3.1). Будем искать решение (3.1) в виде:
, (3.4)
где , неизвестные дифференцируемые функции.
Учитывая, что из уравнения (3.1) получим:
.
Или
. (3.5)
Будем считать, что , то есть .
С учетом этого, уравнение (3.5) примет вид:
. Или .
Интегрируя это уравнение, получим:
,
где с - произвольная постоянная.
Таким образом, общее решение уравнения (3.1) имеет вид:
. (3.6)
Определение 3. Функция называется интегрирующим множителем для уравнения (3.1)
Пример 6. Внутривенное питание глюкозой.
Рассмотрим лечебную процедуру состоящую в вливании глюкозы в кровеносную систему. Пусть - количество глюкозы в крови пациента в момент времени . Допустим, что глюкоза вводится в кровь с постоянной скоростью с (г/мин.). В то же время глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы. Таким образом, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка
, (3.7)
где - положительная постоянная. Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида (3.1) при и .
Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде: .
Умножив последнее уравнение на интегрирующий множитель , и учитывая, что
получим:
.
Интегрируя, получаем:
,
где - постоянная интегрирования.
Таким образом, общее решение (3.7) имеет вид:
. (3.8)
Если известна начальная концентрация глюкозы в крови , то из (3.8)имеем:
.
Значит, общее решение может быть записано в виде:
. (3.9)
Из (3.9) следует, что с увеличением времени содержание глюкозы в крови приближается к числу , которое есть равновесное количество глюкозы в крови.
Пример 7. В популяцию людей большой численности занесено инфекционное заболевание. Доля людей, перенесших заболевание, возрастает со временем. Пусть обозначает долю людей, переболевших этой болезнью за лет после ее возникновения в популяции, и пусть
.
Найдите , если . За сколько лет доля переболевших достигнет ?
Решение:Запишем уравнение в виде:
.
Умножив на и учитывая, что
получим:
.
Интегрируя, находим:
. или .
Учитывая, что имеем: .
Таким образом .
Пусть - время, при котором доля переболевших людей достигнет , т.е.
.
Отсюда находим:
; ; ; .
Таким образом, доля переболевших людей достигнет через 7 лет.
2.2. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка:
Дата добавления: 2017-01-08; просмотров: 2508;