Математические аналоговые модели процесса

Практически все встречающиеся в технологических объектах процессы можно описать однотипными математическими уравнениями динамики, обобщенный аналог которых может быть представлен в виде

(1)

где

- емкостный коэффициент объекта;

– выходная координата объекта (параметр);

– обобщенная входная координата (результирующее входное воздействие

В качестве примера можно представить, как наиболее наглядную модель, модель простого одноемкостного гидравлического объекта. На этой модели ab = s – емкостный коэффициент, представляющий собой площадь основания сосуда.

Функциональная зависимость физических процессов	Определение функций идеализированных физических процессов
обобщенный аналог функциональности	- емкостный коэффициент объекта; – выходная координата объекта (параметр); – обобщенная входная координата (результирующее входное воздействие).
для поступательного движения	– масса движущегося тела; – линейная скорость; – результирующая действующая сила.
для вращательного движения	– момент инерции вращающегося тела ω – угловая частота вращения M – результирующий момент силы
для жидкостей в сосуде	S – площадь основания сосуда; h – уровень жидкости в сосуде; – объемный поток жидкости.
для газовых сосудов	V – объем сосуда; – газовая постоянная и абсолютная температура; P,p – давление и плотность газа; , М – объемный и массовый поток газа.
для нагревания (охлаждения) тел	– масса нагреваемого тела; – теплоемкость удельная; – температура тела; – тепловой поток.
для увлажнения (сушки) тел	– масса сухого вещества; – влажность; – поток влаги.

Такой моделью-аналогом может быть представлен любой простейший одноемкостный объект, связь между координатами которого выражается обобщенной формулой (1).

Величины, характеризующие физические процессы.

Выходная координата y представляет собой абстрактный аналог ряда физических величин: линейной скорости v , окружной скорости ɷ, температуры Ɵ, влажности φ, концентрации вещества «с» и т.п. Практически это есть либо потенциал энергии, либо показатель запаса вещества в объекте.

В технологических объектах этими величинами характеризуется показатель качества процесса, его параметр.

Из приведенных выше уравнений физических моделей процессов четко прослеживается сущность емкостного коэффициента . Это есть величина, численно равная емкости объекта, приходящейся на единицу его выходной координаты.

Если представить уравнение (1) в виде

) xdt

(2)

и проинтегрировать его

)xdt

(3)

То можно увидеть, что величина, обратная емкостному коэффициенту ), есть коэффициент пропорциональности между элементарными изменениями выходной координаты y и импульсом входного воздействия xdt.

Таким воздействием может быть:

- импульс силы Pdt,

- импульс момента Mdt,

- импульс подачи какого-либо вещества,

- импульс тепловой энергии Ɵdt и т.п.

В итоге можно заключить, что емкостный коэффициент есть мера инертности, а его обратная величина ) – мера чувствительности объекта.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

ПРОСТЕЙШИЕ ОДНОЕМКОСТНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Передаточная функция статического объекта управления - это изменение во времени выходной координаты одноемкостного процесса, как было показано выше, характеризуется обобщенным уравнением

Очевидно, условием постоянства выходной координаты объекта (y=const) является равенство результирующего входного воздействия х нулю:

Это условие характеризует установившийся (на определенном уровне) режим объекта – индекс «нуль».

В общем случае результирующий мгновенный поток вещества или энергии – входное воздействие объектов – состоит из разницы между суммарным притоком

и суммарным расходом

то есть

Следовательно при установившемся режиме объекта, т.е. при y = y₀= const

или

Предположим, что к моменту начала исследования приток численно равен расходу и объект находится в установившемся режиме при значении выходной координаты y₀ .

В этот момент как на стороне притока, так и на стороне расхода может быть приложено дополнительное воздействие (регулирующее или возмущающее) Δx , которое должно вывести объект из установившегося состояния.

Если воздействие приложено на стороне притока, то параметр должен возрастать, и наоборот.

При этом необходимо иметь в виду, что как возмущение, так и регулирующее воздействие может выполнять функции притока или расхода.

Допустим, что дополнительное воздействие на объект внесено на стороне притока. Тогда приток соответственно увеличится на какую-то величину Δx_п , т.е.

а расход остается прежним

С течением времени под воздействием дополнительного притока выходная координата будет возрастать. Это, в свою очередь, может вызвать изменение значений входных воздействий (возмущение и регулирующих). Если они находятся в функциональной зависимости от выходной координаты:

Например, нетрудно представить, что с изменением температуры воздуха в помещении (выходной координаты) соответственно будут изменяться приток теплоты от отопительных батарей и расход ее через окна и ограждения (входные величины).

Эти зависимости могут быть линейными или различной степени нелинейности. В общем случае, воспользовавшись формулой Тейлора для разложения в ряд функции одного независимого переменного и учитывая лишь два его первых члена, можно записать

где – отклонение выходной координаты от исходного установившегося (нулевого) значения.

Величина – переменная во времени. Индекс «нуль» при производных указывает на то, что их определяют для исходного режима, и, следовательно, они постоянные величины. Очевидно. Наиболее точным выражением производных будет их значение в пределах оптимального значения параметра, то есть индекс «нуль» необходимо выбирать при y y_n .

Подставив значения текущих координат хп и хр из формул в обобщенное уравнение динамики:

проводим преобразования, получим

+

или

Коэффициент у первого члена уравнения есть время Т_а , необходимое для заполнения емкости при полной нагрузке. Его называют временем астатического разгона объекта:

Та = L

Величина обратная времени Т_а характеризует скорость относительного изменения выходной координаты y процесса при

ξ=1/Т_а =

называется скоростью разгона при полной нагрузке.

Если нагрузка меньше полной, то соответственно скорость разгона будет меньше, а время разгона будет соответственно больше.

Коэффициент при втором члене φ левой части уравнения безразмерный , так как сомножители имеют противоположные размерности. Его называют коэффициентом статизма, или самовыравнивания объекта (процесса):

-

Как видно, этот коэффициент характеризует зависимость входных воздействий объекта от выходной координаты.

Окончательно уравнение динамики, описывающее поведение простого одноемкостного объекта во времени при наличии некомпенсированного входного воздействия, приобретает вид:

Форма уравнения, в которой коэффициент при входной координате есть единица, впервые была предложена известным словацким инженером А. Стодолой и получила название уравнения А. Стодолы.

Часто пользуются другой (так называемой канонической) формой уравнения динамики процесса, когда коэффициент при φ равен единице:

) ,

Поскольку - величина безразмерная, то при делении времени разгона на δ получаем постоянную времени объекта (процесса):

.