АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

В нелинейных элементах (НЭ) электрической цепи нелинейно связаны между собой ток и напряжение (в сопротивлении), заряд и напряжение (в емкости), потокосцепление и ток (в индуктивности). В четвертой самостоятельной работе выполняются расчеты резистивных цепей, имеющих нелинейную вольт-амперную характеристику (ВАХ).

В ряде случаев исследование процессов в простейших нелинейных резистивных цепях удается провести без составления уравнений электрического равновесия, используя графические методы их анализа [7,10,12]. Например, при последовательном соединении двух нелинейных сопротивлений (Рис. 3.1) графически суммируются их вольт-амперные характеристики и по результирующей ВАХ определяется протекающий через них ток по приложенному к цепи напряжению. Найденное значение тока, по ВАХ нелинейных элементов далее позволяет определить напряжение на каждом из них.

Рис. 3.1 - Определение напряжения на последовательно соединенных резистивных НЭ

Аналогично поступают и при большем количестве соединенных последовательно сопротивлений, некоторые из которых могут быть линейными (имеют линейную ВАХ). В результате таких преобразований нелинейные элементы заменяются одним с суммарной ВАХ. Если последовательно с НЭ в ветвь включен источник постоянной ЭДС, то ВАХ нелинейного элемента смещается вверх или вниз в соответствии с полярностью источника на величину его напряжения.

При параллельном соединении двух нелинейных сопротивлений суммируются зависимости i₁(u₁) и i₂(u₂) для получения ВАХ i_вх(u_вх) нелинейного сопротивления, которым можно заменить исследуемый участок цепи (Рис. 3.2).

Рис. 3.2 - Определение тока через параллельно соединенные резистивные НЭ

При параллельном подключении к НЭ источника постоянного тока результирующая ВАХ смещается вверх-вниз в соответствие с направлением и величиной тока источника.

В ряде случаев, заданные в виде таблиц и графиков экспериментальные ВАХ описывают приближенными аналитическими соотношениями - аппроксимациями. В качестве аппроксимаций нелинейных ВАХ применяются: кусочно-линейная, полиномиальная, экспоненциальная, трансцендентными функциями и некоторые другие. При выполнении заданий четвертой самостоятельной работы используются полиномиальная и кусочно-линейная аппроксимации.

Вид аппроксимирующей функции должен определяться исходя из соотношения входного сигнала и вольт-амперной характеристики НЭ. Отметим, что при работе с режимом отсечки тока должна использоваться кусочно-линейная аппроксимация – это так называемый существенно-нелинейный режим работы. При этом ВАХ нелинейного элемента представляется в виде

,(3.1)

где U_отс – напряжение отсечки характеристики,

u(t) =U_см +U_m cos w₀t,

U_см – управляющее напряжение смещения в рабочей точке на нелинейном элементе,

U_m –амплитуда гармонического управляющегонапряжения на нелинейном элементе,

– крутизна линейного участка вольт-амперной характеристики.

Следует отметить, что U_отс и S являются параметрами аппроксимирующего ВАХ полинома первой степени.

При гармоническом воздействии в этом режиме работы на выходе нелинейного элемента присутствует бесконечное количество гармоник, кратных частоте входного сигнала:

Амплитуды этих гармонических составляющих определяются через амплитуду входного сигнала U_m и амплитуду импульса выходного тока с использованием коэффициентов Берга в соответствие с выражением

(3.2)

Сами же коэффициенты Берга могут быть определены с использованием соотношения

, (3.3)

где коэффициенты представлены графически (Рис.2.3), а угол отсечки определяется выражением

(3.4)

в котором - напряжение смещения.

Рис. 2.3 - Зависимость коэффициентов Берга от угла отсечки

При полиномиальной аппроксимации:

i(t) =а₀+a₁(u(t) –U₀)+a₂(u(t)–U₀)²+…+a_n(u(t)–U₀)ⁿ (3.5)

коэффициенты аппроксимации определяются

в результате решения системы уравнений (число уравнений равно числу неизвестных коэффициентов), составленных по ВАХ для пар точек u,i равномерно расположенных в диапазоне аппроксимации характеристики.

Средняя крутизна нелинейного элемента по первой гармонике в этом случае равна

S₁ = I₁ / U_m = a₁+2a₂E+3a₃E²+ a₃E³+ …, (3.6)

где I₁ - амплитуда первой гармонии тока стока, E = U_см –U₀.

Метод трех и пяти ординат .

Формулы трех ординат позволяют вычислить постоянную составляющую I₀ и амплитуды двух гармоник I₁, I₂:

I₀ = (i_max + i_min + 2I₀)/4

I₁ = (i_max - i_min)/2 (П 1.1)

I₂ = (i_max + i_min - 2i₀)/4

где i_max, i_min, i₀ - значение тока соответственно при управляющем напряжении u = E + U_m, при u = E - U_m, при u = E.

Здесь E - напряжение смещения в выбранной рабочей точке, U_m - амплитуда гармонического нпряжения на затворе.

Формулы пяти ординат позволяют найти:

I₀ = (i_max + i_min + 2(i₁ +i₂) )/6

I₁ = (i_max - i_min + (i₁ - i₂))/3

I₂ = (i_max + i_min - 2i₀)/4 (П1.2)

I₃ = (i_max - i_min - 2(i₁ - i₂))/6

I₄ = (i_max + i_min - 4(i₁ +i₂) + 6i₀)/12

где i_max, i_min, i₀ такие же, как и в (П1.1); i₁ ,i₂ - значения тока нелинейного элемента соответственно при управляющем напряжении на затворе u = E + U_m/2 и при u = E - U_m/2.

ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Бакалов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов/ В.П.Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.И. Крук. – М.:Радио и связь, 2005.

2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2005.

Дополнительная:

3. Ковалев Е.И. Основы теории цепей: методические указания к практическим занятиям. Часть 2 / Е.И. Ковалев – Екатеринбург: УрТИСИ ГОУ ВПО «СибГУТИ», 2005.

4. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач. М.: Высшая школа, 1987.

5. Крук Б.И., Журавлева О.Б., Сметанина М.И., Булатова Г.И., Сафронова Т.Е. Сборник тестовых задач по курсу «Теория электрических цепей». Часть 1 / Под редакцией проф. Б.И.Крука. Новосибирск: СибГАТИ, 1995.

6. Крук Б.И., Журавлева О.Б., Сметанина М.И. Сборник тестовых задач по курсу «Теория электрических цепей». Часть 3 / Под редакцией проф. Б.И.Крука. Новосибирск: СибГАТИ, 1996.

7. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа, 2005.

8. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1990.

9. Андреев В.С. Теория нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1982

10. Бирюков В.Н. Сборник задач по теории цепей / В.Н. Бирюков, В.П. Попов, В.И. Семенцов. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1985

11. Зраенко С.М.Основы теории цепей: Методические указания по выполнению самостоятельной работы. Часть 1/ С.М. Зраенко. - Екатеринбург: УрТИСИ ГОУ ВПО СибГУТИ, 2009. Ч. 1. 65 с.

12. Зраенко С.М.Основы теории цепей: Методические указания по выполнению самостоятельной работы. Часть 2/ С.М. Зраенко. - Екатеринбург: УрТИСИ ГОУ ВПО СибГУТИ, 2009. Ч. 2. 62 с.