ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ВРЕМЕННОЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Исходным положением для анализа переходного процесса в линейных электрических цепях является то, что переход реальной цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, поскольку это потребует бесконечной мощности подключаемых источников. Отсутствие таких источников приводит к тому, что суммарная запасенная в цепи энергия может изменяться только плавно, т.е. представляет собой непрерывную функцию времени. Это позволяет сделать вывод о неизменности в первое мгновение после коммутации t=0₊ суммарных потокосцепления и заряда в цепи по отношению к их значениям в мгновение перед коммутацией t=0_-:

(2.1)

Если при коммутации не производится подключения или отключения ветвей, содержащих L и C, то из (2.1) следует непрерывность токов индуктивностей и напряжений емкостей (в первое мгновение эти параметры неизменны, а затем плавно изменяются, начиная со своих значений) – первый и второй законы коммутации:

i_L(0₊)=i_L(0_-), u_c(0₊)=u_c(0_-). (2.2)

При этом i_C , u_L , i_R , u_R могут изменяться произвольно, в том числе и скачкообразно.

При анализе переходного процесса в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами классическим методом необходимо провести:

1. Анализ цепи до коммутации (определение независимых начальных условий i_L, u_Спри ).

2. Определение i_L, u_Cпри с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцепления и заряда.

3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации при t 0 (относительно искомого i_L, или u_C):

. (2.3)

4. Определение свободной составляющей реакции цепи (составление характеристического уравнения цепи, определение его корней и общего вида свободной составляющей – общего решения ОДУ):

, (2.4)

(2.5)

когда все корни уравнения (2.4) простые (различные);

(2.6)

для корня p_k характеристического уравнения (2.4) кратностью n.

5. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации при (отыскание принужденной составляющей реакции цепи – частного решения ДУ цепи):

. (2.7)

6. Нахождение общего вида реакции цепи (общее решение ДУ – суммирование свободных и принужденных составляющих):

(2.8)

7. Определение постоянных интегрирования , которые находятся по независимым начальным условиям – значениям i, u и их первым производным при t = 0 .

8. Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям (подставляя постоянные интегрирования в общее решение ДУ цепи находим его решение, соответствующее заданным начальным условиям, т.е. i либо u одной из ветвей при t >0).

Следует отметить, что в цепях с одним энергоемким элементом переходный процесс апериодический. В цепях с малыми потерями, содержащих индуктивность и емкость при коммутации возможно появление колебаний. Это явление наблюдается при отрицательном дискриминанте квадратичного характеристического уравнения (корни уравнения комплексно сопряженные).

Для последовательной RLC – цепи это соответствует ее добротности (сопротивление потерь , где – характеристическое сопротивление). При этом свободные колебания в цепи имеют частоту:

, (2.9)

где – резонансная частота цепи, а – коэффициент их затухания.

Сопротивление потерь добротность ( ) соответствует критическому режиму для возникновения колебаний.

Классический метод применяют, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие после коммутации гармоническое или постоянное. Другим, применяемым для расчетов более сложных цепей является операторный метод, основанный на преобразовании Лапласа.

Это символический метод, в котором операции над функциями времени a(t) заменяются операциями над их символами (изображениями) – A(p). Взаимное соответствие между ними устанавливается с помощью прямого:

, (2.10)

и обратного

(2.11)

преобразований Лапласа и обозначается знаком соответствия a(t) A(p).

Здесь A(p) – изображение оригинала a(t) по Лапласу, p – оператор преобразования Лапласа или комплексная частота.

При использовании метода неизвестные i и u заменяют их операторными изображениями, а элементы цепи – их операторными схемами замещения. По операторной схеме цепи после коммутации составляется система алгебраических уравнений, решая которые находят операторные изображения искомых токов и напряжений. Далее, с использованием обратного преобразования Лапласа, определяются оригиналы для этих изображений. С использованием операторной схемы цепи определяют также операторные входные сопротивления и проводимости:

, , (2.12)

передаточные сопротивления и проводимости:

, , (2.13)

а также коэффициенты передачи по току и напряжению:

, . (2.14)

В теории линейных цепей реакцию на произвольное входное воздействие исследуют также посредством его представления суммой элементарных единичных функций Хевисайда:

(2.15)

и Дирака:

. (2.16)

При этом используется Теорема суперпозиции – свойство линейных инвариантных во времени цепей заключающееся в том, что реакция на сумму входных воздействий равняется сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Это позволяет ввести такие временные характеристики цепи, как переходная характеристика – реакция на функцию Хевисайда: и импульсная характеристика – реакция на функцию Дирака: . Реакция же цепи на сложное воздействие будет интегральной суммой (интегралом Дюамеля), содержащей переходную и импульсную характеристики:

,

. (2.17)

Здесь x(t) – воздействие на цепь, а y(t) – ее реакция.

Переходная и импульсная характеристики цепи могут быть определены с использованием классического метода анализа реакции на соответствующие входные воздействия, либо через операторный коэффициент передачи цепи:

. (2.18)

Приведенные соотношения используются при выполнении заданий 1-5 самостоятельной работы №2 и подробно обсуждаются в [2,3]. С примерами решения задач можно ознакомиться в [3, 4].