Свойства случайных ошибок

Если одну и ту же величину, истинное значение х которой известно, многократно определить с равной точностью, то получим ряд измерений l₁, l₂, … l_n. Каждое измерение будет иметь свою случайную ошибку Δ₁, Δ₂, … Δ_n, т. е. l₁- х = Δ₁; l₂- х = Δ₂; …; l_n- х = Δ_n.

Полученный ряд случайных ошибок обладает определенными статистическими свойствами:

1. Свойство симметричности, т. е. равные по абсолютной величине, но разные по знаку ошибки встречаются в рядах результатов измерений одинаково часто.

2. Свойство унимодальности или сосредоточения, т. е. малые по абсолютному значению ошибки встречаются чаще чем большие.

3. Свойство ограниченности, т. е. абсолютное значение случайных ошибок результатов измерений не может быть больше некоторого известного предела (предельной погрешности) Δ_i £ Δ _пред. Величина предельной погрешности устанавливается инструментами.

4. Свойство компенсации, т. е. среднее арифметическое из всех случайных ошибок ряда измерений при неограниченном увеличении числа измерений, стремится к нулю , где Δ – случайные ошибки, n – количество измерений.

Если суммы обозначить квадратными скобками [ ] (символ сумм Гаусса), то можно записать .

Если на оси ординат (рис. 4.1) отложить величины случайных ошибок, а на оси абсцисс – число ошибок ряда измерений и через полу­ченные точки провести кривую линию, то по­лучим график распределения случайных оши­бок, который характеризует указанные свойства. Из графика случайных ошибок следует, что большее число случайных ошибок располо­жено в пределах их значений от –1 до +1.

Приведем пример, подтверждающий свойства случайных ошибок. В результате 10-крат­ного измерения расстояния мерной лентой получили следующие случайные ошибки (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Из данного ряда результатов измерений можно отметить, что ошибок по абсолютному значению от 0 до 2 см – семь, от 3 до 4 см – две, свыше 4 см – одна. Среднее арифметическое из десяти ошибок равняется 0,7 см.