Принимаемые за плоскость
Рассмотрим, для каких по размерам участков местности можно применять ортогональное проецирование, т. е. при которых кривизна Земли может не учитываться в процессе создания карты или плана. На рис. 2.7 изображена часть поверхности Земли в виде дуги BCD радиуса R и ее проекция PQ на плоскость PCQ, где PC = CQ.
|
Определим разность между длиной касательной S и длиной дуги S1. Выразим угол a в радианах, тогда согласно рис. 2.7 получим, что S = R × tga, а S1 = R×a. Откуда следует, что
DS = R(tga -a). (2.1)
Центральный угол a по своей величине незначителен. Поэтому при разложении tga в убывающий ряд можно ограничиться вторым членом ряда и пренебречь последующими из-за их незначительности. Тогда . Подставим это значение в формулу 2.1. В результате получим, что
. (2.2)
Из формулы S1=R×a получим, что и заменим a в формуле 2.2. Окончательно найдем, что
. (2.3)
Из рис. 2.7 видно, что точка D находится на уровенной поверхности и ее высота равна нулю. Определим величину отрезка, характеризующего отклонение точки Q от уровенной поверхности. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник OCQ, откуда (R + Dh)² = S² + R². Упростив данное равенство, имеем . Ввиду малого значения Dh в сравнении с 2R окончательно получим, что
. (2.4)
Сравнивая формулы 2.3 и 2.4 видно, что значение Dh существенно больше DS. Если условно принять радиус Земли постоянным, то можно вычислить расхождения DS между длинами дуг на уровенной поверхности и их проекциями на плоскость, а также отклонения высот точек Dh от их положения на поверхности сферы из-за кривизны Земли (табл. 2.2).
Таблица 2.2
S , км | DS ,м | Dh, м |
0,00 | 0,08 | |
0,00 | 1,96 | |
0,01 | 7,85 | |
0,07 | 31,39 | |
1,02 | 196,20 |
Значение величины DS возрастает незначительно. При дуге 11 км DS составляет лишь 1:1 000 000 ее длины. Относительная погрешность измерения расстояний современными приборами составляет порядка 1:1 000 000. Поэтому принято считать, что участок радиусом 11 км можно принимать за плоскость, а при определении превышений между точками местности необходимо вводить поправку Dh.
2.5. Cистемы координат, применяемые в топографии
и геодезии
Координаты – это величины, определяющие положение любой точки на поверхности или в пространстве в принятой системе координат. Система координат устанавливает начальные (исходные) точки, линии или плоскости для отсчета необходимых величин – начало отсчета координат и единицы их исчисления. В топографии и геодезии наибольшее применение получили системы географических, прямоугольных, полярных и биполярных координат.
Географические координаты (рис. 2.8) применяются для определения положения точек поверхности Земли на эллипсоиде (шаре). В этой системе координат исходными являются плоскость начального меридиана и плоскость экватора. Меридианом называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и ось вращения Земли. Параллелью называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и перпендикулярную земной оси. Параллель, плоскость которой проходит через центр эллипсоида, называется экватором. Через каждую точку, лежащую на поверхности земного шара, можно провести только один меридиан и только одну параллель.
Географические координаты – это угловые величины: долгота l и широта j.
Географической долготой l называется двугранный угол, заключенный между плоскостью данного меридиана (проходящего через точку В) и плоскостью начального меридиана. За начальный (нулевой) меридиан принят меридиан, проходящий через центр главного зала Гринвичской обсерватории в пределах г. Лондона. Для точки В долгота определяется углом l = WCD. Счет долгот ведут от начального меридиана в обе стороны – на восток и на запад. В связи с этим различают западные и восточные долготы, которые изменяются от 0° до 180°.
Географической широтой j называется угол, составленный плоскостью экватора и отвесной линией, проходящей через данную точку. Если Землю принимать за шар, то для точки В (рис. 2.8) широта j определяется углом DCB. Широты, отсчитываемые от экватора к северу, называются северными, а к югу – южными, они изменяются от 0° на экваторе до 90° на полюсах.
Географические координаты могут быть получены на основании астрономических наблюдений или геодезических измерений. В первом случае их называют астрономическими, а во втором – геодезическими (L – долгота, B – широта). При астрономических наблюдениях проецирование точек на поверхность относимости осуществляется отвесными линиями, при геодезических измерениях – нормалями. Поэтому величины астрономических и геодезических координат отличаются на величину уклонения отвесной линии.
Использование разными государствами различных референц-эллипсоидов приводит к различиям координат одних и тех же пунктов, вычисленных относительно разных исходных поверхностей. Практически это выражается в общем смещении картографического изображения относительно меридианов и параллелей на картах крупного и среднего масштабов.
Прямоугольными координатами (рис. 2.9)
называются линейные величины – абсцисса и ордината, определяющие положение точки на плоскости относительно исходных направлений.
В геодезии и топографии принята правая система прямоугольных координат. Это отличает ее от левой системы координат, используемой в математике. Исходными направлениями служат две взаимно перпендикулярные линии с началом отсчета в точке их пересечения О.
Прямая ХХ (ось абсцисс) совмещается с направлением меридиана, проходящего через начало координат, или с направлением, параллельным некоторому меридиану. Прямая YY (ось ординат) проходит через точку О перпендикулярную оси абсцисс. В такой системе положение точки на плоскости определяется кратчайшим расстоянием до нее от осей координат. Положение точки А определяется длиной перпендикуляров Xа и Yа. Отрезок Xа называется абсциссой точки А, а Yа – ординатой этой точки. Прямоугольные координаты обычно выражаются в метрах. Осями абсцисс и ординат участок местности в точке О делится на четыре четверти (рис. 2.9). Название четвертей определяется принятыми обозначениями стран света. Четверти нумеруются по направлению хода часовой стрелки: I – СВ; II – ЮВ; III – ЮЗ; IV – СЗ.
В табл. 2.3 показаны знаки абсцисс Х и ординат Y для точек, находящихся в разных четвертях и даны их названия.
Таблица 2.3
Угол направления, градус | Четверть | Знаки координат | |
Х | У | ||
0 – 90 | I – СВ | + | + |
90 – 180 | II – ЮВ | – | + |
180 – 270 | III – ЮЗ | – | – |
270 - 360 | IV – СЗ | + | – |
Абсциссы точек, расположенные вверх от начала координат считаются положительными, а вниз от нее – отрицательными, ординаты точек, расположенные вправо – положительными, влево – отрицательными. Система плоских прямоугольных координат применяется на ограниченных участках земной поверхности, которые могут быть приняты за плоские.
Координаты, началом отсчета которых является какая-либо точка местности, называются полярными. В данной системе координат производится измерение углов ориентирования. На горизонтальной плоскости (рис. 2.10) через произвольно выбранную точку О, называемую полюсом, проводят прямую ОХ – полярную ось. Тогда положение любой точки, например, М будет определяться радиусом – вектором r1 и углом направления a1 , а точки N – соответственно r2 и a2. Углы a1 и a2 измеряют от полярной оси по ходу часовой стрелки до радиуса-вектора. Полярная ось может располагаться произвольно или совмещаться с направлением какого-либо меридиана, проходящего через полюс О.
Система биполярных координат (рис. 2.11) представляет собой два выбранных неподвижных полюса О1 и О2 , соединенные прямой – полярной осью. Данная система координат позволяет определить положение точки М относительно полярной оси на плоскости при помощи двух углов b1 и b2, двух радиусов-векторов r1 и r2 или их комбинаций. Если известны прямоугольные координаты точек О1 и О2 , то положение точки М можно вычислить аналитическим способом (см. 7.4).
Рис. 2.11 | Рис. 2.12 |
.
Высоты точек земной поверхности. Для определения положения точек физической поверхности Земли недостаточно знать только плановые координаты X, Y или l, j, необходима третья координата – высота точки Н. Высотой точки Н (рис. 2.12) называется расстояние по отвесному направлению от данной точки (А´; В´´) до принятой основной уровенной поверхности MN. Числовое значение высоты точки называется отметкой. Высоты, отсчитываемые от основной уровенной поверхности MN, называют абсолютными высотами (АА´; ВВ´´), а определяемые относительно произвольно выбранной уровенной поверхности – условными высотами (В´В´´). Разность высот двух точек или расстояние по отвесному направлению между уровенными поверхностями, проходящими через две любые точки Земли называется относительной высотой (В´В´´) или превышением этих точек h.
В Республике Беларусь принята Балтийская система высот 1977 г. Счет высот ведется от уровенной поверхности, совпадающей со средним уровнем воды в Финском заливе, от нуля Кронштадского футштока.
2.6. Ориентирование направлений в топографии
и геодезии
Ориентировать линию местности – значит определить ее направление относительно другого направления принятого за исходное. В топографии и геодезии исходными направлениями для ориентирования приняты географический меридиан, магнитный меридиан и осевой меридиан геодезической зоны, которые на топографических картах соответственно обозначаются: – линией со звездочкой (ê); – линией со стрелкой () и линией с угольником на конце (U) .
Направление географического меридиана получают из астрономических наблюдений, а направление магнитного меридиана определяет свободно подвешенная и уравновешенная магнитная стрелка. Магнитная ось стрелки в каждой точке земной поверхности совпадает с направлением магнитного меридиана этой точки.
Географическим азимутом А направления, называется горизонтальный угол А, измеренный по ходу часовой стрелки от северного направления географического меридиана, проходящего через данную точку до ориентируемой линии (рис. 2.13). По абсолютному значению азимуты изменяются от 0 до 360°. На рисунке горизонтальные углы А1, А2, А3, А4 будут географическими азимутами ориентируемых направлений О1; О2; О3; О4. Точка О – начало ориентируемых направлений; а линия СЮ – географический меридиан точки О.
Рис. 2.13 | Рис. 2.14 |
Магнитным азимутом направления называется горизонтальный угол Ам между северным направлением магнитного меридиана и направлением данной линии, отсчитываемый по ходу часовой стрелки (рис. 2.14). Вследствие не совпадения географических и магнитных полюсов магнитный и географический меридианы в данной точке земной поверхности образуют между собой угол d, называемый склонением магнитной стрелки (рис. 2.14).
Магнитное склонение может быть восточным – положительным, если северное направление магнитного меридиана находится к востоку от географического и западным – отрицательным, если северное направление магнитного меридиана проходит к западу от географического. Зависимость между географическим и магнитным азимутами выражается формулой А = Ам + d.
Склонение магнитной стрелки изменяется в зависимости от места и времени. Различают: суточные, годовые и вековые изменения склонения. Кроме того, величина склонения изменяется под влиянием магнитных бурь, связанных с полярным сиянием, солнечной активности, землетрясений, в районах магнитных аномалий и т. д. Суточные колебания склонения магнитной стрелки не превышают 5–15¢. Вследствие этого, ориентирование по магнитному азимуту проводится лишь в тех случаях, когда не требуется большая точность.
В топографии и геодезии применяется также ориентирование направлений относительно северного направления оси абсцисс в системе прямоугольных координат. Угол, отсчитываемый от северного направления оси абсцисс или линии параллельной ему до данного направления, по ходу часовой стрелки называется дирекционным углом a (рис. 2.15). Дирекционный угол изменяется от 00 до 3600.
Рис. 2.15 | Рис. 2.16 |
Угол между географическим меридианом данной точки и северным направлением оси абсцисс (вертикальной линией координатной сетки) называется сближением меридианов g (рис. 2.15). Сближение меридианов бывает восточным со знаком плюс и западным со знаком минус. При восточном сближении меридианов, линии параллельные осевому меридиану отклоняются к востоку от географического меридиана, проходящего через эту точку, а при западном – к западу. Зависимость между географическим азимутом и дирекционным углом выражается формулой А = a + g.
Для того чтобы перейти от дирекционного угла к магнитному азимуту необходимо знать две величины – склонение магнитной стрелки и сближение меридианов. Данные об этих величинах в виде графика и текста помещаются под южной рамкой топографической карты. Магнитный азимут равен разности дирекционного угла и поправки направления Ам = a – П. Поправка направления П – это угол между магнитным меридианом и северным направлением оси абсцисс. Поправка вычисляется по формуле .
Иногда ориентирование линии выражается острыми углами – румбами r. Румбом называют острый угол, отсчитываемый от ближайшего направления меридиана (северного или южного) до данной линии (рис. 2.16). Румбы имеют значения от 0° до 90° и сопровождаются названием четверти в которой проходит линия. Румбы переводят в азимуты и дирекционные углы и наоборот (табл. 2.4).
Таблица 2.4
Четверть | Название четверти | Связь между азимутами и румбами | |
I | СВ | A1 = r1 | r1 = A1 |
II | ЮВ | А2 = 180º - r2 | r2 = 180º - А2 |
III | ЮЗ | А3 = 180º + r3 | r3 = А3 - 180º |
IV | СЗ | А4 = 360º - r4 | r4 = 360º - А4 |
Зависимость между азимутами или дирекционными углами и румбами линий, расположенных в разных четвертях, устанавливают по формулам.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 348;