ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

1.1.Уравнение связки плоскостей, проходящих через данную точку :

,

где — нормальный вектор плоскости.

1.2.Общее уравнение плоскости:

,

где — нормальный вектор плоскости.

1.3.Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

,

где , , — точки, лежащие на плоскости.

1.4.Угол между плоскостями:

,

где — нормальный вектор первой плоскости, —нормальный вектор второй плоскости.

1.5.Условие параллельности двух плоскостей:

,

где — нормальный вектор первой плоскости, —нормальный вектор второй плоскости.

1.6.Условие перпендикулярности плоскостей:

,

где — нормальный вектор первой плоскости, —нормальный вектор второй плоскости.

1.7.Расстояние от точки до плоскости:

,

где — точка, — нормальный вектор плоскости.

2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

2.1.Канонические уравнения прямой:

,

где — координаты точки на прямой, — направляющий вектор прямой.

2.2.Общие уравнения прямой (прямая задана пересечением двух плоскостей):

.

2.3.Параметрические уравнения прямой:

,

где — координаты точки на прямой, — направляющий вектор прямой, — параметр или вспомогательная переменная.

2.4.Уравнения прямой, проходящей через две точки:

,

где , — точки, принадлежащие прямой.

2.5.Угол между двумя прямыми:

,

где — направляющий вектор первой прямой, — направляющий вектор второй прямой.

2.6.Условие параллельности двух прямых:

.

2.7.Условие перпендикулярности двух прямых:

.

3. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

3.1.Угол между прямой и плоскостью:

,

где — нормальный вектор плоскости, — направляющий вектор прямой.

3.2.Условие параллельности прямой и плоскости:

.

3.3.Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

3.4.Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую:

,

где — общие уравнения прямой.

3.5.Условие принадлежности прямой плоскости:

.

3.6.Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости:

.

4. ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ

4.1.Координаты середины отрезка

Пусть точка — середина отрезка , где , тогда её координаты:

, , .