Методы получения интервальных оценок
1). Понятие о доверительном интервале.
2). Интервальная оценка для МОЖ и дисперсии
3). Понятие о доверительном интервале.
В силу случайности точечной оценки “ ”всегда актуален вопрос о том, к каким ошибкам может привести практическое использование этой оценки, т.е. вопрос о ее точности и надежности.
Для ответа на этот вопрос в математической статистике пользуются так называемыми интервальными оценками, в основе которых лежат понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.
Пусть для параметра «а» получена из опыта оценка « ». Мы хотим оценить ошибку от замены “ ” на “ ”. Для этого назначим некоторую достаточно большую вероятность (например ) такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным, и найдем такое значение “ ”, для которого
Вер ( … ..(8.1)
Тогда диапазон практических возможных значений ошибки, возникающий при замене «а» на « », будет ± . Большие по абсолютной величине ошибки будут проявляться только с малой вероятностью .
Зависимость (8.1) можно представить в виде:
Вер … ..(8.2)
Равенство (8.2) означает, что неизвестное значение параметра «а» с вероятностью попадает в интервал:
……(3)
Как видно, положение этого интервала на оси «а» является случайным, т.к. случаен его центр « »:
Случайна вообще и длина интервала “ ”, т.к. “ ” вычисляется, как правило, по опытным данным.
Поэтому правильнее толковать величину не как вероятность попадания точки «а» в интервал а как вероятность того, что случайный интервал накроет точку «а».
Вероятность называется доверительной вероятностью, а интервал – доверительным интервалом. Границы интервала и называются доверительными границами.
Доверительный интервал можно рассматривать как интервал значений неизвестного параметра «а», совместных с опытными данными и не противоречащих им. Действительно, если считать события с вероятностью практически невозможными, то те значения «а» для которых , нужно признать противоречащими опытным данным, а те, для которых , - совместимыми с ними.
Для нахождения доверительных границ можно использовать как точные, так и приближенные методы. Рассмотрим эту процедуру на примере точных методов применительно к интервалам для математического ожидания и дисперсии.
Интервальная оценка для МОЖ и дисперсии.
Пусть , т.е. имеем оценку для неизвестного математического ожидания случайной величины “x”. Как правило, дисперсия также неизвестна, так что вместо надо использовать .
Тогда :
Перейдем к правой части этого равенства от случайной величины к случайной величине T, распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства, содержащегося в скобках, на положительную величину :
или
Теперь найдем такое число , для которого справедливо равенство:
Но: Вер ( ) =
т.к. функция – четная.
Следовательно:
,
откуда ,
полагая ,
находим .
Таким образом :
и
Пример
; | n =25 | ||
; | |||
Вывод: Чем выше уровень доверительной вероятности, тем шире доверительный интервал!
Аналогичным образом можно определить доверительный интервал для дисперсии, если . Для этого достаточно воспользоваться V-статистикой, имеющей -распределение с ν = n-1 степенями свободы. Как известно, эта статистика имеет вид:
,
откуда
Как видно из рисунка, закон распределения статистики V в отличие от закона распределения статистики T не является симметричным. Поэтому возникает вопрос: как выбрать интервал , в который величина V= попадает с вероятностью ?
Условимся выбирать интервал так, чтобы вероятности выхода величины V за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рисунке) были одинаковы и равны
.
Чтобы построить интервал с таким свойством надо воспользоваться таблицей, в которой приведены числа такие, что
.
Зафиксировав ν = n-1, находят по таблице два значения :
Одно , отвечающие вероятности , и другое , отвечающее вероятности . Очевидно, что интервал имеет своим левым, а - правым концом.
Теперь по интервалу найдем искомый интервал для неизвестной дисперсии с границами и , который накрывает точку D с вероятностью :
Для этого убедимся в равносильности неравенств:
,
Откуда:
и
Пример:
n =13 ν = 12
Если интегрировать слева направо:
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 93;